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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
die Folge [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] ist gegeben. Ich hab raus, dass diese gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] konvergiert, bin mir aber sehr unsicher, ob das stimmt.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> die Folge [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] ist gegeben. Ich hab raus, dass
> diese gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] konvergiert, bin mir aber sehr
> unsicher, ob das stimmt.
>
> Danke
wie kommst Du denn darauf? Es gilt (o.E. $n > [mm] 2\,$)
[/mm]
[mm] $$\frac{n!}{n^n}=\overbrace{\underbrace{\overbrace{\underbrace{\frac{n}{n}}_{\le 1}}^{\ge 0}*\overbrace{\underbrace{\frac{n-1}{n}}_{\le 1}}^{\ge 0}*\ldots*\overbrace{\underbrace{\frac{2}{n}}_{\le 1}}^{\ge 0}}_{\le 1}}^{\ge 0}\;\;*\frac{1}{n} \le \frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Das zeigt, dass [mm] $(n!/n^n)_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich hab so eine Ahnung, dass Du möglicherweise etwas verwechselst.
Hast Du vielleicht die Reihe
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] $
gegeben ?
Ist [mm] $a_n:=\bruch{n!}{n^{n}} [/mm] $, so hast Du wahrscheinlich das Quotientenkriterium angewandt. Denn:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}=1/e$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Um genau zu sein, habe ich eine Folge [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] gegeben. Aber das mit dem Quotientenkriterium habe ich genau so gemacht. Ist das denn falsch? Ich mein, da kommt ja 1/e raus. Danke für Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Um genau zu sein, habe ich eine Folge [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
> gegeben. Aber das mit dem Quotientenkriterium habe ich
> genau so gemacht. Ist das denn falsch? Ich mein, da kommt
> ja 1/e raus. Danke für Hilfe.
Nochmal, Marcel hats gesagt:
die Folge Folge [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] ist eine Nullfolge
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, natürlich. Ich versteh das. Also darf man das Quotientenkriterium hier nicht anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, natürlich. Ich versteh das. Also darf man das
> Quotientenkriterium hier nicht anwenden?
Dürfen darfst Du schon. Es stellt sich die Frage wofür ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ach sry, ich hab mich vertan. Man kriegt ja beim Quotientenkriterium nicht den Grenzwert raus, sondern weiß lediglich, dass wenn es (also der Betrag) kleiner 1 ist, die Folge konvergiert. Der Grenzwert ist also gar nicht 1/e. Also, habe verstanden ;) Danke sehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Quotientenkriterium ist ein Notwendiges K. für die Konv. von REIHEN
bei Folgen hesst es dass sie fallend sind!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ach sry, ich hab mich vertan. Man kriegt ja beim
> Quotientenkriterium nicht den Grenzwert raus, sondern weiß
> lediglich, dass wenn es (also der Betrag) kleiner 1 ist,
> die Folge konvergiert. Der Grenzwert ist also gar nicht
> 1/e. Also, habe verstanden ;) Danke sehr.
ich glaube nicht, dass Du es wirklich verstanden hast - sonst würdest Du Dich anders ausdrücken. Also mal anders:
Für die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=n!/n^n$ [/mm] wurde gezeigt, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gilt. Nun kann man sich fragen: Wie schaut's nun mit der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] aus? (Meinetwegen kannst Duden Laufindex unten auch mit [mm] $1\,$ [/mm] anstatt mit [mm] $0\,$ [/mm] starten lassen.)
Die Reihe ist etwas ganz anderes: Das Symbol [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] steht zunächst mal für die Folge [mm] $(s_k)_k$ [/mm] mit [mm] $s_k:=\sum_{p=0}^k a_p\,,$ [/mm] und falls diese Folge konvergiert steht das Symbol auch für den Grenzwert der letztstehenden Folge [mm] $(s_k)_k\,.$
[/mm]
NOTWENDIG für die Konvergenz der Reihe, also der Folge [mm] $(s_n)_n\,,$ [/mm] ist [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] Das wissen wir bereits. Aber das ist i.a. nicht hinreichend, um sagen zu können, dass die Reihe auch konvergiert.
Wegen [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to [/mm] 1/e < 1$ liefert aber das Quotientenkriterium die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n\,,$ [/mm] also der Folge [mm] $(s_k)_k\,.$ [/mm] Das ist aber nicht die Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] sondern diese entsteht, indem man sukzessive das aktuelle Folgeglied von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] zu [mm] $s_n$ [/mm] dazuaddiert.
Also:
[mm] (a_n)_n=(a_0,a_1,a_2,a_3,,\ldots)
[/mm]
[mm] (s_k)_k=(s_0=a_0, s_1=s_0+a_1=a_0+a_1, s_2=s_1+a_2=a_0+a_1+a_2,s_3=s_2+a_3=a_0+a_1+a_2+a_3,\ldots) [/mm]
Beispiel:
Ist [mm] $a_n=n\,,$ [/mm] also [mm] $a_0=0,$ $a_1=1,$ $a_2=2,$ $a_3=3,$ [/mm] ...
so ist
[mm] $s_0=0,$ $s_1=1,$ $s_2=1+2=3$, $s_3=1+2+3=6,$ [/mm] ... [mm] $s_k=\frac{k}{2}(k+1)$, $\ldots$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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