Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Für welche x element IR kovergiert die Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(x-3)^{2n}}{2^n*n^2} [/mm] absolut
Tipp: Verwenden Sie das Wurzelkriterium |
Hallo,
mit dem Wurzelkriterium komme ich nicht ganz klar ich habe nur:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{(x-3)^{2n}}{2^n*n^2}}= \bruch{(x-3)^2}{2} [/mm] wie es weiter geht weiß ich leider nicht :S
kann ich auch das Quotientenk. anwenden? Also ich habe es mal versucht und habe zum Schluss stehen:
[mm] \bruch{x-3}{(n+2)^2} [/mm] weiter komme ich hier auch nicht :S
würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Für welche x element IR kovergiert die Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(x-3)^{2n}}{2^n*n^2}[/mm] absolut
>
> Tipp: Verwenden Sie das Wurzelkriterium
> Hallo,
>
> mit dem Wurzelkriterium komme ich nicht ganz klar ich habe
> nur:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{(x-3)^{2n}}{2^n*n^2}}= \bruch{(x-3)^2}{2}[/mm]
> wie es weiter geht weiß ich leider nicht :S
>
> kann ich auch das Quotientenk. anwenden?
Damit hättest du zumindest dem Tipp der Verwendung des Wurzelkriteriums trotzig widersprochen...
> Also ich habe es
> mal versucht und habe zum Schluss stehen:
>
> [mm]\bruch{x-3}{(n+2)^2}[/mm] weiter komme ich hier auch nicht :S
Ich denke, da steht [mm] \bruch{(x-3)^2}{2}...
[/mm]
... und für welche x ist dieser Term "echt" kleiner als 1?
>
>
> würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> > [mm]\bruch{x-3}{(n+2)^2}[/mm] weiter komme ich hier auch nicht :S
> Ich denke, da steht [mm]\bruch{(x-3)^2}{2}...[/mm]
> ... und für welche x ist dieser Term "echt" kleiner als
> 1?
>
Sry da muss [mm] \bruch{x-3}{n^2+4n+2} [/mm] stehen, ich versteh nicht, warum da[mm]\bruch{(x-3)^2}{2}[/mm] hin soll :S
also ich habe [mm] \bruch{(x-3)^{2n+1}*2^n*n^2}{2^{n+1}(n+1)^2(x-3)^{2n}}=\bruch{(x-3)*n^2}{2(n+1)^2}= \bruch{x-3}{n^2+4n+2} [/mm]
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Hallo,
> Hallo,
>
>
> > > [mm]\bruch{x-3}{(n+2)^2}[/mm] weiter komme ich hier auch nicht :S
> > Ich denke, da steht [mm]\bruch{(x-3)^2}{2}...[/mm]
> > ... und für welche x ist dieser Term "echt" kleiner
> als
> > 1?
> >
>
> Sry da muss [mm]\bruch{x-3}{n^2+4n+2}[/mm] stehen,
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
genauer!!
Wo muss das stehen??
Lautet die Reihe nun [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-3)^{2n}}{2^n\cdot{}n^2}$ [/mm] oder nicht?
> ich versteh
> nicht, warum da[mm]\bruch{(x-3)^2}{2}[/mm] hin soll :S
Zu berechnen ist [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-3)^{2n}}{2^n\cdot{}n^2}\right|}$
[/mm]
Und das ist [mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}|x-3|^2$
[/mm]
(Potenzgesetze und die Tatsache, dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^2}=1$ [/mm] ist)
Also löse [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}|x-3|^2<1$ [/mm] mal auf ...
>
> also ich habe
> [mm]\bruch{(x-3)^{2n+1}*2^n*n^2}{2^{n+1}(n+1)^2(x-3)^{2n}}=\bruch{(x-3)*n^2}{2(n+1)^2}= \bruch{x-3}{n^2+4n+2}[/mm]
>
Wenn du das Qk nimmst, wird für n+1 aus [mm] (x-3)^{2\red{n}} [/mm] doch sicher [mm] $(x-3)^{2\red{(n+1)}}=(x-3)^{2n+\red{2}}$ [/mm] ...
Aber das WK tut's doch wunderbar
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
>
> Also löse [mm]\frac{1}{2}\cdot{}|x-3|^2<1[/mm] mal auf ...
>
daraus folgt: 1: Fall [mm] |x-3|<\wurzel{2}
[/mm]
2: Fall [mm] |x-3|>\wurzel{2}
[/mm]
3: Fall [mm] |x-3|=\wurzel{2}
[/mm]
der 3. Fall ist konv. da [mm] \bruch{|x-3|^{2n}}{2^n*n^2} [/mm] = [mm] 1/n^2 [/mm]
aber bei den andern beiden weiß ich nicht wie ich ran gehen soll:S
Beim ersten Fall habe ich x< [mm] \wurzel{2}+3 [/mm] und beim 2 das selbe mit >
Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> >
> > Also löse [mm]\frac{1}{2}\cdot{}|x-3|^2<1[/mm] mal auf ...
> >
>
> daraus folgt: 1: Fall [mm]|x-3|<\wurzel{2}[/mm]
Das ist die korrekte Auflösung der Ungleichung (Fall 2 und 3 folgen nicht aus der Ungleichung).
Daraus folgt
x>3 UND [mm] x<3+\wurzel2
[/mm]
ODER
x<3 UND [mm] x>3-\wurzel2
[/mm]
Gruß Abakus
> 2: Fall [mm]|x-3|>\wurzel{2}[/mm]
> 3: Fall [mm]|x-3|=\wurzel{2}[/mm]
>
> der 3. Fall ist konv. da [mm]\bruch{|x-3|^{2n}}{2^n*n^2}[/mm] =
> [mm]1/n^2[/mm]
>
> aber bei den andern beiden weiß ich nicht wie ich ran
> gehen soll:S
>
> Beim ersten Fall habe ich x< [mm]\wurzel{2}+3[/mm] und beim 2 das
> selbe mit >
>
>
> Melisa
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich dachte als erstes auch, dass nur der 1. Fall existiert. In der Lösung stehen jedoch auch die anderen beiden. Bei dem 1. und 3. ist es mir klar das sie konv. sind, aber ich versteh nicht, warum der 2. Fall div. ist :S
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich dachte als erstes auch, dass nur der 1. Fall existiert.
> In der Lösung stehen jedoch auch die anderen beiden. Bei
> dem 1. und 3. ist es mir klar das sie konv. sind, aber ich
> versteh nicht, warum der 2. Fall div. ist :S
Das hat doch nichts mit konvergent oder divergent zu tun.
Die weitere Auflösung der gegebenen Ungleichung führt NUR auf Fall 1.
Die anderen beiden Fälle folgen NICHT aus der Ungleichung.
Gruß Abakus
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Ich zitiere aus der Lösung:
"Für q < 1, d. h. für |x − 3|< [mm] \wurzel{2}
[/mm]
konvergiert die Reihe also absolut.
Für |x − 3|> [mm] \wurzel{2} [/mm] divergiert sie. Für |x − 3|= [mm] \wurzel{2} [/mm] ist.....Diese Reihe konvergiert ebenfalls absolut."
Ich versteh dann nicht, was dies zu bedeuten hat :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich zitiere aus der Lösung:
>
> "Für q < 1, d. h. für |x − 3|< [mm]\wurzel{2}[/mm]
> konvergiert die Reihe also absolut.
> Für |x − 3|> [mm]\wurzel{2}[/mm] divergiert sie. Für |x −
> 3|= [mm]\wurzel{2}[/mm] ist.....Diese Reihe konvergiert ebenfalls
> absolut."
>
> Ich versteh dann nicht, was dies zu bedeuten hat :S
Da haben wir über verschiedene Dinge geredet.
Die Frage war zuerst: "Wann konvergiert die Reihe (mit Sicherheit)?"
Durch Anwendung des Wurzelkriteriums haben wir eine Ungleichung erhalten (deren weitere Auflösung auf deinen Fall 1 führt und auf nichts anderes).
Das Wurzelkriterium sagt nur etwas aus, in welchem Bereich die Reihe konvergieren MUSS und nichts darüber, wo sie gegebenfalls noch konvergieren KANN.
Aus diesem Grund muss der Randbereich des sicheren Knvergenzgebiets (in dem Fall der Übergang von der Ungleichung zur Gleichung) separat untersucht werden, weil der Fall limsup...=1 vom Wurzelkriterium weder eindeutig mit ja noch mit nein beantwortet werden kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:56 Do 18.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
sry, dass es zu unverständlichkeiten kam, aber die Frage war genau so wie ich es geschrieben habe gestellt :S
danke für eure Hilfe :)
Lg Melisa
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