Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | [mm] a_{n}=\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}, [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
zeigen sie, dass dann die Folge [mm] (\frac{a_{n}}{\wurzel{n}} [/mm] gegen eine Zahl [mm] a\in (\wurzel{2}, [/mm] 2) konvergiert |
also, mein ansatzt wäre:
[mm] \frac{a_{n}}{\wurzel{n}}= \frac{1}{\wurzel{n}}*\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}
[/mm]
ja, jetzt weiss ich nicht weiter, ich sollte doch versuchen den grenzwert zu finden?
wäre es dann in etwa [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \frac{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aniria!
Nein, du sollst nicht einen konkreten Grenzwert bestimmen. Du sollst lediglich zeigen, dass dieser Grenzwert existiert und dass dieser Grenzwert $a_$ im Intervall [mm] $\left[ \wurzel{2} \ ; \ 2 \ \right]$ [/mm] liegt.
1. Weise nach, dass die Folge [mm] $\bruch{a_n}{\wurzel{n}}$ [/mm] monoton ist.
2. Zeige, dass die o.g. Folge beschränkt ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | also, zu zeigen ist, dann:
1. Weise nach, dass die Folge [mm] \bruch{a_n}{\wurzel{n}}
[/mm]
monoton ist.
2. Zeige, dass die o.g. Folge beschränkt ist. |
ich habe dazu zwei fragen,
1. monoton was? steigend oder fallend? oder ist es egal, wenn nicht das eine, sondern das andere? beweis durch wiederspruch? und wenn rechne ich dann mit [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] oder kann ich es einfach weglassen?
2. beschränkt, wie nachoben und unten, somit gäbe es obere und untere schranke
wie findet man die? in der Vorlesung habe wir die definiert, aber sofort weiter mit sup und inf weitergemacht, gibt es einen gestrenten anchweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. natürlich kannst du das Produkt nicht einfach weglassen.
2. ob die Folge fällt oder Steigt, sollst du rausfinden.
wenn sie fällt ist sie von alleine nach oben durch den Anfang beschr. dann musst du Schranke nach unten finden.
sonst umgekehrt.
beschränkt: du musst ne Zahl finden, die immer kleiner, bzw, grösser ist als alle Folgenglieder. durch das gegebene Intervall sollte klar sein welche Zahlen das sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, jetzt monoton steigend oder fallend |
wenns monoton steigend, dann
[mm] \forall n\in \IN: a_{n+1}>a_{n} [/mm] -> [mm] a_{n+1}* \frac {1}{a_{n}}>1
[/mm]
in meinem Fall: [mm] (1/\wurzel{n}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1}) [/mm] * [mm] (\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1}) [/mm] >1
wie rechne ich mit [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] weiter?
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Hallo,
[mm] a_{n+1}=$ (1/\wurzel{\red{n+1}}\cdot{}\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1}) [/mm] $
> wie rechne ich mit [mm]\produkt_{k=1}^{n}[/mm] weiter?
Wenn Dir das Produkt [mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1} [/mm] Sorgen macht, dann schreib es doch aus:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1}=\frac{2*1}{2*1-1}*\frac{2*2}{2*2-1}* ...*\frac{2*n}{2*n-1}*\frac{2(n+1)}{2*(n+1)-1}.
[/mm]
So blickt am oft etwas besser durch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, ich habe versucht zu rechnen, kann aber nicht ganz zu ende: |
[mm] (\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=1}^{1} \frac{2k}{2k-1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*2
[/mm]
wie geht es weiter? wie beweise ich, dass [mm] \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*2>1?
[/mm]
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> also, ich habe versucht zu rechnen, kann aber nicht ganz zu
> ende:
> [mm](\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=\red{1}}^{\red{1}} \frac{2k}{2k-1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})
Hallo,
die rotmarkierte Eins stimmt nicht. Da muß doch n+1 hin.
Gruß v. Angela
=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*2[/mm]
>
> wie geht es weiter? wie beweise ich, dass
> [mm]\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*2>1?[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
> > also, ich habe versucht zu rechnen, kann aber nicht ganz zu
> > ende:
> > [mm][mm] (\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=\red{1}}^{\red{1}} \frac{2k}{2k-1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})
[/mm]
Hallo,
die rotmarkierte Eins stimmt nicht. Da muß doch n+1 hin.
aber ich trenne doch [mm] \produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})=\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=1}^{1}\frac{2k}{2k-1}
[/mm]
meinst das ist falsch???
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> > > also, ich habe versucht zu rechnen, kann aber nicht ganz zu
> > > ende:
> > > [mm][mm](\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=\red{1}}^{\red{1}} \frac{2k}{2k-1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})[/mm]
Hallo,
> > die rotmarkierte Eins stimmt nicht. Da muß doch n+1 hin.
>aber ich trenne doch [mm]\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})=\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*\produkt_{k=1}^{1}\frac{2k}{2k-1}[/mm]
>meinst das ist falsch???
Das Trennen ist nicht falsch, falsch ist das "Wie" des Trennens.
Es ist doch [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}a_k=a_1*a_2*...*a_n*a_{n+1}=(\produkt_{k=1}^{n}a_k)*a_{n+1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ok, sieht das dann so aus? |
[mm] (\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*a_{n+1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})=
[/mm]
[mm] =\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*a_{n+1}=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}
[/mm]
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> ok, sieht das dann so aus?
> [mm](\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*a_{n+1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})=[/mm]
>
> [mm]=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*a_{n+1}=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}[/mm]
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
> > ok, sieht das dann so aus?
> > [mm](\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*a_{n+1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})=[/mm]
>
> >
> >
> [mm]=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*a_{n+1}=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}[/mm]
wie komme ich hier denn weiter? ich muss ja zeigen
für monoton steigend: [mm] \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}>1
[/mm]
oder monoton [mm] fallend:\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}<1
[/mm]
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> > > ok, sieht das dann so aus?
> > > [mm](\frac{1}{\wurzel{n+1}}*\produkt_{k=1}^{n+1} \frac{2k}{2k-1})*(\wurzel{n}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})= \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}*a_{n+1})*(\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{-1})=[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> [mm]=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*a_{n+1}=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}[/mm]
>
> wie komme ich hier denn weiter? ich muss ja zeigen
> für monoton steigend:
> [mm]\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}>1[/mm]
> oder monoton
> [mm]fallend:\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}<1[/mm]
Hallo,
ja, genau.
Was hast Du versucht?
Hast Du mal Deinen TR befragt, ob's steigt oder fällt? (Es ist oft einfacher, wenn man weiß, was man zeigen möchte.
Es ist [mm] \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}=\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2(n+1)}{2n+1}.
[/mm]
Vielleicht mal alles unter eine Wurzel packen und dann abschätzen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, ich würde sagen fallend... |
also:
[mm] \frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}<1
[/mm]
[mm] also:\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}=\wurzel{\frac{n}{n+1}}\le [/mm] 1
aber was mach ich weiter?
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> also, ich würde sagen fallend...
> also:
>
> [mm]\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}*\frac{2n+2}{2n+1}<1[/mm]
>
> [mm]also:\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}}=\wurzel{\frac{n}{n+1}}\le[/mm]
> 1
>
> aber was mach ich weiter?
Hallo,
es nützt ja nichts, wenn Du nur diesen Teil abschätzt. Der ist kleiner als 1 , der andere faktor größer als 1, und Du bist so schlau wie zuvor.
Bring den gesamten Ausdruck unter die Wurzel und versuch dann, abzuschätzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, rechne ich damit weier: |
[mm] \wurzel{\frac{n}{n+1}}* \frac{2n+2}{2n+1}= \wurzel{\frac{n(2n+2)^{2}}{(n+1)*(2n+1)^{2}}}=\wurzel{\frac{4n^{3}+8n^{2}+4n}{4n^{3}+8n^{2}+5n+1}}
[/mm]
ich würde es dann so abschätzen: [mm] \le \wurzel{1}<1
[/mm]
muss ich dann noch zeigen, dass die folge nach unten beschränkt ist? wieso eigentlich sind es diese zwei eigenschaft die man zeigen muss?
wäre es nicht dann [mm] \le \wurzel{1}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du muss begründen, dass das echt <1 ist warum steht bei dir das [mm] \le
[/mm]
immer wenn man was hinschreibt gehört dazu ne Begründung.
2. wenn ne folge fallend ist bis wohin kann sie dann den fallen?
die Folge [mm] a_n=-(2^n) [/mm] ist garantiert fallend!
erinner dich mal, was du eigentlich zeigen willst. Mir scheint, das hast du aus den Augen verloren.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Schreib doch mal das Produkt ein Stück weit mit Pünktchen auf! dann weisst du wie man kürzt.
2.bei [mm] a_{n+1} [/mm] muss auch unter der Wurzel n+1 stehen.
3. oft ist es gut, erstmal die paar ersten [mm] a_n [/mm] auszurechnen, dann merkt man z. Bsp ob es steigt oder fällt, vielleicht auch schon ein Argument?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | [mm] a_{n}=(\wurzel{n})^{-1}*\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}, [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
zeigen sie, dass dann die Folge gegen eine Zahl [mm] a\in (\wurzel{2}, [/mm] 2) konvergiert |
ich habe bereits bewiesen, dass diese Folge monoton fallend ist.
n=1 -> [mm] a_{1}=2 [/mm] somit übersteigt die Folge diesen Wert nicht.
noch zu zeigen: [mm] a_{n}>\wurzel{2}
[/mm]
[mm] (\wurzel{n})^{-1}*\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}>\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1}>\wurzel{2n}
[/mm]
[mm] (\produkt_{k=1}^{n} \frac{2k}{2k-1})^{2}>2n
[/mm]
wie rechne ich hier weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Di 10.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das Quadrat kannst du in das Produkt schreiben.
2. verkleinern, indem du den Nenner vergrösserst. (um 1) Dann vielleicht mal mit Pünktchen schreiben und due siehst es.
Gruss leduart
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