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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 So 02.09.2007
Autor: anet

Hallo

Ich komme hier bei einer Grenzwertaufgabe nicht mehr weiter:

Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm]

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+5} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm]

Ich habe versucht, den Ausdruck (wie in diesem https://matheraum.de/read?t=293599 Thread beschrieben)
zu einer Binomischen Formel zu erweitern, erhalte dann jedoch den Wert [mm] \bruch{c}{0} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 So 02.09.2007
Autor: barsch

Hi,

da gibt es einen "Trick":

Du hast die Folge [mm] a_n=\wurzel{n+5}-\wurzel{n} [/mm]

Jetzt erweiterst du mit [mm] (\wurzel{n+5}+\wurzel{n}) [/mm]

Dann erhälst du:

[mm] a_n=\bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}= \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} \to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty [/mm]

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 So 02.09.2007
Autor: anet

[mm]a_n=\bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}= \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} \to[/mm]
> 0 für [mm]n\to\infty[/mm]


Dann lösen sich die Terme ... + [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n+5} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+5} [/mm] ... im Zähler gegenseitig auf.. Alles klar!

Danke vielmals
anet

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Zusatz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 So 02.09.2007
Autor: barsch

Hi,

ja, ich weiß nach deiner Darstellung nicht ganz, ob du das mit dem Kürzen richtig verstanden hast?

Zur Sicherheit:

Ein weiterer Zwischenschritt.

[mm] \bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})\cdot{}(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} [/mm]


[mm] =\bruch{(\wurzel{n+5}*\wurzel{n+5}+\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}-\wurzel{n}*\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} [/mm]


[mm] =\bruch{(\wurzel{n+5}^2+\red{\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}}-\wurzel{n}^2)}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} [/mm]


[mm] =\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} [/mm]

= [mm] \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} [/mm]

Hoffe, dass es dir weiterhilft.

MfG barsch

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 So 02.09.2007
Autor: anet

[mm]=\bruch{(\wurzel{n+5}^2+\red{\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}}-\wurzel{n}^2)}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>  
>
> [mm]=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Hoffe, dass es dir weiterhilft.

Genau das meinte ich.
Danke nochmals. Meine Algebrakenntnisse sind mit der Zeit leider ein wenig eingeschlafen.

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