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| Aufgabe | Wieder Konvergenz und ggf. Grenzwert:
a) [mm] a_n=1-(-1)^{n}
[/mm]
b) [mm] a_n=\bruch{(n-1)^{2}}{n!} [/mm] |
Guten Abend,
a) ich habe mir überlegt, nicht konvergent, es existiert kein endlicher Grenzwert, weil die Glieder der Folge ja 2, 0, 2, 0, 2, 0 ..... sind,
b) ich habe mir einige Glieder berechnet, sie steigen zunächst bis n=3, dann habe ich festgestellt, Konvergenz, da Grenzwert 0 existiert, mein Gefühl sagt mir, der Nenner wächst schneller als der Zähler, durch die Fakultät, alle mir bekannten Regeln versagen im Moment, Division durch n, ausklammern, wie gehe ich mit der Fakultät um, damit der Grenzwert berechnet werden kann,
Danke an Euch Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 05.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
Aufgabe a.) hast Du richtig erkannt.
Bei der 2. Aufgabe kannst Du z.B. zeigen, dass alle Folgenglieder positiv sind [mm] $a_n [/mm] \ > \ 0$ und die Folgen [mm] $a_n$ [/mm] ab einem bestimmten Glied auch monoton fallend ist: [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ < \ 1$ .
Daraus folgt dann die Konvergenz.
Gruß
Loddar
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Danke für Deine Hinweise, versuche ich es,
1) alle Glieder, ab n=2 sind größer Null, n ist ja eine natürliche Zahl, also positiv, das Quadrat einer natürlichen Zahl ist wiederum größer Null, die Fakultät einer natürlichen Zahl ist größer Null, Produkt positiver Zahlen, also ist der Quotient größer Null, alles über die Vorzeichenregel,
2) Nachweis monoton fallend
[mm] a_n \ge a_n_+_1
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)^{2}}{n!} \ge \bruch{n^{2}}{(n+1)!}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)^{2}}{n!} \ge \bruch{n^{2}}{n!(n+1)}
[/mm]
[mm] (n-1)^{2} \ge \bruch{n^{2}}{(n+1)}
[/mm]
[mm] (n-1)^{2}(n+1) \ge n^{2}
[/mm]
[mm] n^{3}-2n^{2}-n+1 \ge [/mm] 0
Diese Gleichung ist für n=1 und n=2 falsch, für [mm] n\ge3 [/mm] entsteht eine wahre Aussage.
Ich habe gezeigt, alle Glieder ab n=2 sind größer Null und Folge ist monoton fallend, also ist sie konvergent mit Grenzwert 0
Reicht diese Begründung so?? Danke für die Hinweise, Zwinkerlippe
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Hiho,
nein, das reicht leider noch nicht. Du weisst dadurch nur, dass die Folge konvergiert und der Grenzwert grösser gleich Null ist. Aber dass er gleich null ist, weisst du leider noch nicht.
Es gäbe jetzt 3 Wege zu zeigen, dass der Grenzwert 0 ist.
1.) Du zeigst, bei jeder anderen Zahl a > 0 ist die Folge [mm] a_n [/mm] ab einem n kleiner als a
2.) Du zeigst es direkt über die Definition, dass der Grenzwert gleich Null ist, also du zeigst:
Es gibt ein n, so dass für alle n danach gilt [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (das ist aber letztendlich das gleiche wie bei 1.)
3.) Du schätzt deine Folge nach oben durch eine Zweite Folge ab und zeigst, dass die auch gegen 0 konvergiert (dann hättest du auch den ganzen Kram mit der Monotonie nicht zeigen müssen, dies nennt sich Majorantenkriterium und wird ganz oft bei Folgen benötigt).
Also wie könnte denn dein [mm] b_n [/mm] aussehen, so dass [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] gilt und du weisst, dass [mm] b_n \to [/mm] 0 geht?
Überlege dafür: Was müsste bei [mm] a_n [/mm] anders sein, damit du z.B. kürzen kannst.
MfG,
Gono.
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Danke für die Erklärung, die Folge ist monoton fallend alle Glieder sind positiv, der Grenzwert könnte ja z. B. auch 0,5 sein, leuchtet mir ein, gehe ich an das
[mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium | [mm] a_n [/mm] -a | < [mm] \varepsilon, a_n [/mm] ist meine Folge, a der angenommene Grenzwert,
| [mm] \bruch{(n-1)^{2}}{n!} [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm]
das Verfahren hatten wir noch nicht, das die Differenz zwischen den Folgegliedern und dem Grenzwert beliebig klein werden muß, leuchtet mir ein, das ist doch aber nur möglich, wenn ich eine Idee für den Grenzwert habe? Mir ist der Rechenweg nicht klar, kann mir bitte einer von Euch das Verfahren an der Folge erläutern?
Danke für die Mühen, Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Do 05.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
n!=n*(n-1)*(n-2)! [mm] >(n-1)^2*(n-2)! [/mm] n>2
und jetzt du
Gruss leduart
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Hallo leduart die Zerlegung von n! ist mir klar, auch das Relationszeichen,
[mm] |\bruch{(n-1)^{2}}{n!}-0| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
jetzt setze ich im Nenner ein: [mm] (n-1)^{2}(n-2)!, [/mm] damit verkleinere ich den Wert des Nenners, also vergrößere ich den Wert des Bruches
[mm] |\bruch{(n-1)^{2}}{(n-1)^{2} (n-2)!}-0|<\varepsilon
[/mm]
jetzt kann ich kürzen, die Null brauche ich nicht schreiben
[mm] |\bruch{1}{(n-2)!}|<\varepsilon
[/mm]
jetzt muß ich ja noch begründen, mir ist klar, [mm] \bruch{1}{(n-2)!} [/mm] wird beliebig klein, so daß ich bei Vorgabe eines [mm] \varepsilon [/mm] immer ein n finde, um ab einem bestimmten Glied [mm] \varepsilon [/mm] zu unterschreiten,
ich habe mir mal [mm] \varepsilon=0,00001 [/mm] gewählt, ab dem Glied n=11 unterschreite ich den Wert 0,0001, verkleiner ich [mm] \varepsilon, [/mm] erhöht sich zwansläufig n,
Mein mathematischer Ausdruck ist nicht der beste, aber stimmen meine Gedankengänge soweit? Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 05.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Gedanken sind richtigund gut.
Mathematisch ddrückt man das so aus: für ein beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist [mm] a_n<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\geN [/mm] mit [mm] (N-2)!=1/\varepsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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freu mich richtig, danke für die Geduld leduart zu so später Stunde Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 05.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
a) also die erste Folge divergiert (d.h nicht konvergiert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ), da sie keinen eindeutigen Grenzwert hat.
[mm] b)\bruch{(n-1)^{2}}{n!}\le\bruch{1}{n}. [/mm] Das muss zuerst z.b: per vollständige Induktion gezeigt werden. Da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 geht, natürlich geht dann auch der Bruch links gegen 0.
Schöne Grüße
Igor
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