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| Aufgabe | Man zeige durch Anwendung des Satzes über monotone, beschränkte Folgen, dass die Folge [mm] (a_n), [/mm] die durch
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n(2-a_n)
[/mm]
definiert ist, konvergiert.
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Hallo ich bins nochmal. Dieses Thema ist ja noch neu für mich und in anderen Foren war man nicht gerade nett wenn ich nicht alles sofort verstanden habe, also möcht ich da gar nicht mehr hingehen. Aber hier sind immer alle sehr nett und geduldig. Das finde ich sehr gut, also schonmal vielen Dank an alle die sich die Zeit nehem hier zu helfen. Nun zu meiner Aufgabe:
Ich möchte jetzt durch Induktion zeigen, dass
0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
Induktionsanfang:
[mm] 0\le a_1\le [/mm] 1 , da [mm] a_1=\bruch{1}{2}
[/mm]
es gelte für ein es gelte für ein n [mm] \in \IN [/mm] 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
daraus folgt ...
soweit bin ich bis jetzt
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Zunächst ein naheliegender Fehlversuch:
aus der IV [mm] a_{n}<1 [/mm] folgt [mm] a_{n+1}=a_{n}(2-a_{n})=(zahl [/mm] kleiner als 1)*(Zahl größer als 1)=?
Jetzt die Lösung:
aus der IV [mm] 0
Daher wird [mm] a_{n+1}=a_{n}(2-a_{n})=(1-\epsilon)*(1+\epsilon)=1-\epsilon^2 [/mm]
und damit [mm] 0
Wegen [mm] 0<\epsilon<1 [/mm] ist [mm] \epsilon^2<\epsilon [/mm] und damit auch noch [mm] a_{n+1}>a_{n}.
[/mm]
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Ich hatte folgendes Beispiel und wollte diese Aufgabe auf dem gleichen Weg lösen... wie komme ich da weiter?
Beispiel:
Nachweis der Konvergez folgender Folge
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n^2+\bruch{1}{4}
[/mm]
induktiv zeige ich, dass 0 [mm] \le a_n \le \bruch{1}{2} [/mm] gilt
IA 0 [mm] \le a_1 \le \bruch{1}{2} [/mm] , da [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Es gelte für ein n [mm] \in \IN [/mm] 0 [mm] \le a_n \le \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0\le a_n^2+\bruch{1}{4}\le\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] beschränkt
[mm] (a_n) [/mm] ist monoton steigend, denn es gilt [mm] a_{n+1} \ge \gdw a_n^2+\bruch{1}{4}\ge a_n \gdw (a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^2 \ge [/mm] 0.
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Hallo,
du hast doch alles gezeigt, was nötig ist.
Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent und zwar gegen das supremum der Menge der [mm] a_n
[/mm]
Wo genau meinst du, dass du nicht weiter kommst?
Das sieht doch alles ganz richtig aus, die Induktion ist ok, der Nachweis den Monotonie auch, also?
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus
Dieses war mein Beispiel:
$ [mm] a_1 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ , $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] a_n^2+\bruch{1}{4} [/mm] $
induktiv zeige ich, dass 0 $ [mm] \le a_n \le \bruch{1}{2} [/mm] $ gilt
IA 0 $ [mm] \le a_1 \le \bruch{1}{2} [/mm] $ , da $ [mm] a_1 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $
Es gelte für ein n $ [mm] \in \IN [/mm] $ 0 $ [mm] \le a_n \le \bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow 0\le a_n^2+\bruch{1}{4}\le\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] $ beschränkt
$ [mm] (a_n) [/mm] $ ist monoton steigend, denn es gilt $ [mm] a_{n+1} \ge \gdw a_n^2+\bruch{1}{4}\ge a_n \gdw (a_n [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2})^2 \ge [/mm] $ 0.
Nun wollte ich analog zu diesem Beispiel, die folgende Aufgabe lösen:
Man zeige durch Anwendung des Satzes über monotone, beschränkte Folgen, dass die Folge $ [mm] (a_n), [/mm] $ die durch
$ [mm] a_1 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}, a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] a_n(2-a_n) [/mm] $
definiert ist, konvergiert.
und soweit bin ich gekommen...
Ich möchte jetzt durch Induktion zeigen, dass
0 $ [mm] \le a_n \le [/mm] $ 1
Induktionsanfang:
$ [mm] 0\le a_1\le [/mm] $ 1 , da $ [mm] a_1=\bruch{1}{2} [/mm] $
es gelte für ein es gelte für ein n $ [mm] \in \IN [/mm] $ 0 $ [mm] \le a_n \le [/mm] $ 1
daraus folgt ...
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Hallo Mausi, die Antwort wurde dir doch hier schon gegeben. 
Einfach nochmal nachschlagen.
Sollst du auch den Grenzwert berechnen? Das geht nämlich auch viel einfacher als das supremum ausrechnen über die Rekursionsformel wie folgt:
[mm]a_{n+1} = a_n(2-a_n)
\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} = \limes_{n\rightarrow\infty} a_n(2-a_n)
\Rightarrow a = a(2-a)
\Rightarrow a = 2a - a^2
\Rightarrow 0 = a - a^2
\Rightarrow 0 = a(1-a)
\Rightarrow a = 0 \vee a = 1
\Rightarrow a = 1 [/mm]
(da [mm] (a_n) [/mm] monoton steigend)
Gruß,
Gono.
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Ja die Lösung habe ich mir schon angeschaut, und ich versuche diese Lösung mit dem [mm] \varepsilon [/mm] zu verstehen. Ich dachte nur es gibt vieleicht noch eine andere Lösung die mehr meinem Beispiel ähnelt.
Danke für die Rechnung zu dem Grenzwert. Den benutze ich ja in der Induktion.
Ich kann mich garnicht genug für die freundliche Unterstützung hier bedanken, also Dankeschön an alle nochmal.
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