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| Aufgabe | | Man berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2+5n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n^2+2}) [/mm] |
Hallo nochmal :) Dieses Thema ist noch sehr neu für mich und ich habe noch nicht so viel Übung. Hätte jemand Lust mir mit dieser Aufgabe Schtitt für Schritt zu helfen damit ich das alles besser verstehe?
Ich weiss ich muss irgendwie mit den binomischen Formeln arbeiten. Aber ich brauche bitte noch mehr Hilfe als andere denke ich, also eine schrittweise Erklärung wäre gut. Vielen Dank für die Hilfe und Verständnis schonmal.
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Hallo Sarah,
bei solchen Differenzen von Wurzeln empfiehlt es sich oft so zu erweitern, dass du die 3te binom. Formel anwenden kannst. So auch hier:
[mm] \wurzel{n^2+5n+1}-\wurzel{n^2+2} [/mm] erweitere das mit [mm] \frac{\wurzel{n^2+5n+1}+\wurzel{n^2+2}}{\wurzel{n^2+5n+1}+\wurzel{n^2+2}}
[/mm]
Das ergibt dann:
[mm] \frac{n^2+5n-1-(n^2+2)}{\wurzel{n^2+5n+1}+\wurzel{n^2+2}}=\frac{5n-3}{\wurzel{n^2(1+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2})}+\wurzel{n^2(1+\frac{2}{n^2})}}
[/mm]
[mm] =\frac{n(5-\frac{3}{n})}{n\left(\sqrt{1+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}\right)}=\frac{5-\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}
[/mm]
[mm] \rightarrow\frac{5}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{5}{2} [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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