Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 25.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Konvergieren die folgenden Reihen
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty}cos(n\Pi)\frac{1}{\sqrt(n)} [/mm] |
Schönen Guten Abend,
weiß nicht genau wie man das löst
ich habs mal so versucht
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}cos(n\Pi)\frac{1}{\sqrt(n)}=\summe_{n=1}^{\infty}cos(n\Pi)\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt(n)}
[/mm]
dann dachte ich mir das man sich den Grenzwert der jeweiligen Summe betrachtet
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}cos(n\Pi)=-1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt(n)}=0
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht recht das wieder zusammenfassen also (-1)*0=0 das dei Folge gegen NUll konvergiert
oder
betrachte ich die dinge einzeln und sage das die Folge bestimmt konvergent ist?
Vielen Gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Mo 25.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi hooover,
[mm] cos(n*\pi) [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
D.h.
[mm] \summe_{i=1}^{n} cos(n*\pi)*\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}.
[/mm]
Daraus folgt, die vorgegebene Reihe ist eine alternierende Reihe. Diese Reihe konvergiert wenn die Beträge gegen Null gehen, was hier der Fall ist, also ist die angegebene Folge ebenfalls konvergent.
Da war ich wohl etwas zu schnell und zu ungenau, danke Pallin.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Palin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dummer weise ist $\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n}}. $ divergent.
Du must beweisen das die Reihe < $\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\n^x}}. $ ist mit x>1.
Für den die Summe über den Cosinus kannst du das Integral benutzen mit 1 und n als Grenzen.
Bin grad zu faul das selber nachzu rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Di 26.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Palin,
habe meinen Fehler oben korrigiert. Deinen Weg habe ich aber nicht verstanden, würde mich aber interessieren.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 26.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Idee in der Mitteilung ist einfach falsch, da es sich ja um ne alternierende Reihe handelt. und Summe über die cos allein divergierte sicher,da abwechselnd + und -1! Dagegen hilft sicher kein Integral.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:56 Di 26.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi leduart,
also so wie ich meine Antwort korrigiert habe.
mfg ullim
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