Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | Icram |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz
[mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^i*n}{2n+3} [/mm] |
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{(-1)^i *n}{n-ln(n)}
[/mm]
Hallo Leute.... ich habe keine Ahnung wie ich weiter kommen soll....
Ich habe es Mit dem Quotientenkriterium probiert, aber damit komme ich immer auf 1 ---> Keine Aussage.
Leipnitz will auch nicht, da nicht streng Monoton =(
Ich würde mich über eine Lösung freuen, vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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oder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
hallo Icram
Ne NOTWENDIGE Bed für Konvergenz einer Reihe ist dass die Summanden eine Nullfolge bilden! Untersuch das mal!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:04 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Icram |
Mir ist Aufgefallen, das ich ausversehen "i" statt "n" geschrieben habe! Aber ich denke das macht keinen unterschied oder?
Das mit der Nullfolge verstehe ich nicht ganz, ich weiss nur das aus einer Nullfolge nicht Konvergenz folgt.
Aber das keine Nullfolge auch keine Konvergenz mit sich bringt. Bedeutet dies, dass die Folge Divergent ist, da keine Nullfolge?
Nachvollziehen kann ich das..... nur leider habe ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll.....
Gruss Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mi 19.04.2006 | | Autor: | sirprize |
Hi Icram,
könntest du bitte nochmal die ganze Formel richtig abtippen? Nicht dass wir über verschiedene Dinge reden 
Was leduart dir sagen wollte: Die Summanden in der hier vorliegenden Darstellung bilden keine Nullfolge => Konvergenz ist gar nicht möglich!
Viele Grüße,
Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Icram |
| Aufgabe | | $ [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(-1)^n\cdot{}n}{2n+3} [/mm] $ |
So habe sie jetzt nochmal abgetippt.... so stimmt sie jetzt.
Habe ich das jetzt richtig verstanden, die Summe ist keine Nullfolge (da streng Monoton), daraus folgt das sie Summe garnicht Konvergent sein kann?
Wenn das so ist, wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf?
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Also nochmal das ganze zusammenfasst.
Eine Alternierende Reihe (die Vorzeichen wechseln immer) ist konvergent, wenn die beträge der Summanden eine Nullfolge bilden (Konvergenzkriterium von Leibniz)
Wenn wir die Reihe versuchen mit diesem Kriterium zu untersuchen bekommen wir keine Aussage, da die Summanden keine Nullfolge bilden (die Summanden konvergieren klarerweise gegen 1/2)
ABER viel allgemeiner gitl ja schon für Reihen:
Reihe konvergent => Summanden bilden eine Nullfolge
Diese Aussage gilt nur in eine Richtung (Gegenbeispiel: Harmon. Reihe)
und ist schnell kar, wenn man die Teilsummenfolge betrachtet (also die Folge der [mm] s_{n}=\summe_{i=1}^{n}a_{n} )[/mm], so muss für die Konvergenz der Reihe diese Folge konvergieren. Sie konvergiert dann auch schon gegen den Grenzwert der Reihe.
Angenommen wir hätten eine Konvergente Reihe. Dann ist die Teilsummenfolge konvergent und damit eine Cauchyfolge, d.h. erfüllt das Cauchykriterium. Dieses gilt insbesondere für das n+1te und das n-te Glied der Teilsummenfolge: [mm][mm] |s_{n} [/mm] - [mm] s_{n+1}|<\varepsilon \longrightarrow |a_{n}|<\varepsilon \longrightarrow |a_{n}-0|<\varepsilon[/mm] [mm]
alles jeweils für alle Epsilon > 0 und für alle n >N(Epsilon)
Da steht es jetzt eigentlich schon, dass die [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergieren.
Die Aussage: Bei einer konvergenten Reihe bilden die Summanden eine Nullfolge
Diese Aussage ist allerdings äquivalent zu:
Bilden die Summanden keine Nullfolge, kann die Reihe nicht konvergieren
Das ist bei dem Beispiel der Fall
Mfg
Michael
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