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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionsfolgen [mm] f_n: [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Geben Sie jeweils die Grenzfunktion an:
a) [mm] f_n(x)=(x+1/n)²
[/mm]
b) [mm] f_n(x)=|x|²
[/mm]
c) [mm] f_n(x)= \wurzel[n]{|x|}
[/mm]
d) [mm] f_n(x)= x^n*(1-x)^n [/mm] |
hallo, also bei der a hab ich ja was raus, weiß da aber nicht, wie ich das ganze nach n umstellen soll: 2/n+1/(n²)<varepsilon
bei den anderen hab ich schon schwierigkeiten bei der grenzwertbestimmung. aber bei b müsste der grenzwert 1 sein. da komm ich dann aber mit dem beweis, also | fn(x)-f(x)|, nicht weiter. also ich bräuchte da hilfe. wäre echt super, wenn mir jemand weiter helfen könnte. danke
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Hallo erstmal.
Zu (a):
Also $ [mm] f_n(x)=(x+1/n)² [/mm] $ konvergiert ja erstmal punktweise gegen x². Es gibt so einen Satz der besagt, dass wenn die Grenzfunktion stetig ist dann konvergiert die Funktion gleichmäßig.(Satz von Dini) Also ist die Funktionenfolge sogar gleichmäßig konvergent. Ich glaube eine zweite Bedingung ist, dass die Folge von Funkionen auch stetig sein muss.
Zu (b):
Bei der zweiten würde ich sagen, dass die Fktfolge gegen sich selbst konvergiert. Hier hast du ja kein (n) mit drin. Also bedeutet dies doch das die Folge immer so bleibt. Also kannst du doch auf jeden Fall zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein n finden(es hängt ja nicht von n ab) so dass gilt |fn(x)-f(x)|< [mm] \varepsilon. [/mm] Daraus folgt: [mm] \varepsilon [/mm] > 0, da fn(x)=f(x)
Zu (c)
Bei der dritten ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}fn(x) [/mm] = 1 [mm] \vee [/mm] x aus [-1,1]. Dies gilt da die n - te Wurzel aus x , wobei n gegen unendlich geht eins ist..
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ gleich 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \end{cases} [/mm] Diese Funktion ist jedoch nicht stetig, daher ist die Funktion nicht gleichmäßig konvergent.(Satz von Dini)
Zu (d)
Für x=1 konvergieren die Fkt. gegen 0. Das selbe gilt für x = 0.
Unter anderem ist $ [mm] f_n(x)= x^n\cdot{}(1-x)^n [/mm] = [mm] f_n(x)= (x-x^2)^n$. [/mm] Unter anderem ist ja [mm] x-x^2 [/mm] für x [mm] \varepsilon[-1,1] [/mm] kleiner als 1 größer als -1 für x ungleich 0 und 1, da du ja von x immer etwas was keiner als x ist abziehst. Somit kommt man zum Schluss das auch für diese x die Funktionen gegen 0 konvergieren. Damit konvergiert die Funktion punktweise auf die stetige Funktion f(x)=0. Damit ist sie sogar gleichmäßig konvergent.
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Also ich geben natürlich keine Garantie drauf, dass alles richtig ist. :) Viel Glück noch.
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