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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo;)
ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen: Ich komme mit dieser Konvergenz einfach nicht zurecht!
Aufgabe 1) Für eine reelle Zahlefolge [mm] (a_{n})_{n \ge 1} [/mm] definiere eine weitere Zahlefolge [mm] (b_{n})_{n \ge 1} [/mm] durch [mm] b_{n}= \bruch{1}{n} (a_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}).
[/mm]
(a) Konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen a, so konvergiert auch [mm] (b_{n}) [/mm] gegen a.
(b) Folgt aus der Konvergenz von [mm] (b_{n}) [/mm] (stets) die Konvergenz von [mm] (a_{n})?
[/mm]
In einem Buch habe ich ein ähnliches Bsp. gefunden: [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert gegen a [mm] \in \IR. [/mm] Man beweise, dass [mm] (b_{n}), [/mm] definiet durch
[mm] b_{n}= \bruch{1}{n+1}(a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}+ [/mm] ... [mm] a_{n}) [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
ebenfalls gegen a konvergiert.
Den Beweis verstehe ich jedoch nicht:
Also zunächst gilt: Wenn [mm] (a_{n}) [/mm] gegen a konvergiert, so gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert N [mm] \in \IN, [/mm] sodass
|a{n} - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N, also lim [mm] a_{n}= [/mm] a
In einem ERSTEN Schritt wird der Fall (Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist a = 0) behandelt -aber warum??? Muss ich das bei meiner Aufgabe1 auch tun??? Woran erkenne ich, was der Grenzwert einer Folge ist? Wenn ich [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] habe, hätte ich eher vermutet, dass der Grenzwert bei 1 liegt...;(
Die Aufgabe geht so weiter:
Es ergibt sich: M [mm] \in \IN, \varepsilon [/mm] > 0
[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] M
Wir setzen c:= [mm] a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{M})
[/mm]
dann gilt für alle n> M
[mm] |b_{n}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] |c+ [mm] a_{M+1}+... [/mm] + [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{n+1}|c|+ \bruch{n-M}{n+1}. \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] - wie kommen die auf diesen Schritt und was sollen die zwei Punkte rechts und links des Epsilon-Bruches? Ich verstehe das ganze nur bis zur linken Seite des "<"-Zeichens.
Weiter geht's: Sei N>M so gewählt, dass
[mm] \bruch{1}{N+1} [/mm] |c| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Diesen Schritt verstehe ich auch nicht.
Dann gilt
[mm] |b_{n}|< \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2}= \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N,
also konvergiert die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] ebenfalls gegen 0. Wieso???
Sei jetzt a= lim [mm] a_{n} [/mm] beliebig. Dann können wir auf die Folge [mm] (a'_{n})_{n \in \IN} [/mm] definiert durch
a'_{n}:= [mm] a_{n}-a [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Teil I anwenden. Die Folge b'_{n}:= [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] (a'_{0}+... [mm] +a_{n}) [/mm] konvergiert daher gegen 0. Da
b'_{n}= [mm] \bruch{1}{n+1} (a_{0}+... a_{n} [/mm] - (n+1)a)= [mm] b_{n}- [/mm] a,
folgt lim [mm] b_{n} [/mm] = a
Ich hoffe, es kann mir jemand die einzelnen Schritte mal erklären... Kann ich- falls ich es dann verstanden haben sollte- ähnlich bei Aufgabe 1 vorgehen? Geht das ganze vielleicht noch einfacher?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Nescio,
> Aufgabe 1) Für eine reelle Zahlefolge [mm](a_{n})_{n \ge 1}[/mm]
> definiere eine weitere Zahlefolge [mm](b_{n})_{n \ge 1}[/mm] durch
> [mm]b_{n}= \bruch{1}{n} (a_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}).[/mm]
> (a) Konvergiert [mm](a_{n})[/mm] gegen a, so konvergiert auch
> [mm](b_{n})[/mm] gegen a.
> In einem Buch habe ich ein ähnliches Bsp. gefunden:
> [mm](a_{n})[/mm] konvergiert gegen a [mm]\in \IR.[/mm] Man beweise, dass
> [mm](b_{n}),[/mm] definiet durch
> [mm]b_{n}= \bruch{1}{n+1}(a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}+[/mm] ... [mm]a_{n})[/mm] für alle
> [mm]n\in \IN[/mm]
> ebenfalls gegen a konvergiert.
Das ist dieselbe(!) Aufgabe: die Folge im Buch wird nur anders durchnummeriert. Dort fängt die Zählung bei 0 an und geht bis n für die Definition von [mm] b_n, [/mm] umfasst also n+1 Folgeglieder, bei Deiner Aufgabe fängt die Zählung bei 1 an und endet bei k (ich wähle bewusst einen anderen Namen für die Zählvariable): setzte k = n+1, dann wird in beiden Fällen der Mittelwert der ersten k bzw. n+1 Folgeglieder gebildet.
> Den Beweis verstehe ich jedoch nicht:
> Also zunächst gilt: Wenn [mm](a_{n})[/mm] gegen a konvergiert, so
> gilt:
> Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert N [mm]\in \IN,[/mm] sodass
> |a{n} - a| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N, also lim
> [mm]a_{n}=[/mm] a
>
> In einem ERSTEN Schritt wird der Fall (Grenzwert der Folge
> [mm](a_{n})[/mm] ist a = 0) behandelt -aber warum???
Die beweisen im Buch einen Spezialfall (a=0) um ihn später dann für den allgemeinen Fall zu verwenden. So wird's übersichtlicher.
> Muss ich das bei meiner Aufgabe1 auch tun???
Wäre sinnvoll.
> Woran erkenne ich, was der
> Grenzwert einer Folge ist? Wenn ich [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] habe,
> hätte ich eher vermutet, dass der Grenzwert bei 1
> liegt...;(
Da es sich um dieselbe Folge handelt (bloß andre Nummerierung), erledigt sich die Frage hoffentlich.
> Die Aufgabe geht so weiter:
> Es ergibt sich: M [mm]\in \IN, \varepsilon[/mm] > 0
> [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] M
Das geht, weil a=0 ist, daher muss zu [mm] \varepsilon [/mm] ab einem M auch auch [mm] |a_n-0| [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] für alle n>M sein.
> Wir setzen c:= [mm]a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{M})[/mm]
> dann gilt für alle n> M
> [mm]|b_{n}|[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] |c+ [mm]a_{M+1}+...[/mm] + [mm]a_{n}|[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n+1}|c|+ \bruch{n-M}{n+1} \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
> - wie kommen die auf diesen Schritt und was sollen die
> zwei Punkte rechts und links des Epsilon-Bruches?
Die Punkte bedeuten nix (habe sie gekillt).
> Ich verstehe das ganze nur bis zur linken Seite des
> "<"-Zeichens.
die rechte ergibt sich aus der Voraussetzung, dass [mm] |a_n|<\varepsilon/2 [/mm] ist ab n>M, von diesen [mm] a_n [/mm] hast Du n-M Stück, also ist ihre Summe kleiner als [mm] (n-M)*\varepsilon/2, [/mm] und das n+1 im Nenner kommt vom Auflösen der Klammer.
> Weiter geht's: Sei N>M so gewählt, dass
> [mm]\bruch{1}{N+1}[/mm] |c| < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}.[/mm] Diesen
> Schritt verstehe ich auch nicht.
Na, Du suchst Dir zu dem c und dem M ein N>M, sodass diese Ungleichung gilt: wenn Du c durch N+1 teilst und N immer größer machst, muss der Quotient irgendwann kleiner [mm] \varepsilon/2 [/mm] werden.
> Dann gilt
> [mm]|b_{n}|< \bruch{\varepsilon}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\varepsilon}{2}= \varepsilon[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] N,
> also konvergiert die Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] ebenfalls
> gegen 0. Wieso???
Weil Du gerade gezeigt hast: zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein N, sodass für alle n>N gilt: [mm] |b_n-0| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Das ist die Definition dafür, dass [mm] b_n [/mm] den Grenzwert 0 hat.
>
> Sei jetzt a= lim [mm]a_{n}[/mm] beliebig. Dann können wir auf die
> Folge [mm](a'_{n})_{n \in \IN}[/mm] definiert durch
> a'_{n}:= [mm]a_{n}-a[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Teil I anwenden.
denn jetzt ist a'_n eine Nullfolge, also kannst Du Teil I anwenden.
> Die Folge b'_{n}:= [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] (a'_{0}+... [mm]+a'_{n})[/mm]
> konvergiert daher gegen 0. Da
> b'_{n}= [mm]\bruch{1}{n+1} (a_{0}+... a_{n}[/mm] - (n+1)a)= [mm]b_{n}-[/mm] a,
> folgt lim [mm]b_{n}[/mm] = a
Das ist nur eine algebraische Umformung: Jedem Summanden von b'_n , also den a'_n, wurde a abgezogen, also hat man insgesamt n+1 mal a abgezogen, und dann die Klammer auflgeöst: das n+1 kürzt sich weg.
> Ich hoffe, es kann mir jemand die einzelnen Schritte mal
> erklären... Kann ich- falls ich es dann verstanden haben
> sollte- ähnlich bei Aufgabe 1 vorgehen? Geht das ganze
> vielleicht noch einfacher?
Nein, das ist schon ziemlich einfach, und wie Du bei Deiner Aufgabe vorgehen musst, ist jetzt hoffentlich klar. Im Grunde musst Du nur überall das "n+1" durch "n" ersetzen.
Gruß, Richard
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