Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich versuche folgende Aufgaben zu lösen. Leider habe ich keinen ansatz. Vielleicht kann mir jemand helfen:
Es seien [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] gegen a bzw b konvergente reelle Zahlenfolgen
a) Die Folge [mm] x_{n}, [/mm] definiert durch [mm] x_{n} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n}, [/mm] konvegiert gegen a+b
b) Die Folge [mm] y_{n}, [/mm] definiert durch [mm] x_{n} [/mm] = [mm] a_{n}b_{n}, [/mm] konvegiert gegen ab
c) Ist b [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] b_7{n} \not= [/mm] 0 für all n [mm] \in \IN, [/mm] so konvergiert [mm] z_{n}, [/mm] definiert durch [mm] z_{n}= \bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] gegen [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
Ich habe mich zwar mit der Definition von Konvergenz auseinandergesetzt, aber ich habe einfach keine Idee, wie man dies rechnerisch beweist.
Danke im Voraus,
Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Do 17.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zu jedm [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein N usw.. Wenn an konvergiert gibt es ein N1 zu [mm] \varepsilon/2, [/mm] wenn bnkonvergiert gibt es ein N2 zu [mm] \varepsilon/2 [/mm] . Nimm das größere der 2 also N=max(N1,N2) und du hast das gesuchte N für an+bn.
Und nu mach erst mal selber weiter!
Immer die Definitionen nochmal und nochmal wiederholen und anwenden. Das ist in Analysis der Schlüssel zum Erfolg!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Do 17.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo, habe dasselbe Problem wie Sinus.
Komme leider nicht viel weiter, weil ich die ganze Geschichte mit der Konvergenz vom Prinzip her gar nicht verstanden hab. Woher kommt das [mm] \varepsilon/2 [/mm] her? Kann mir bitte einer das Ganze erklären.
Ich bin am Verzweifeln. :( :( :(
Lieben Dank,
Niente
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 17.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin Niente!
Die definition der Konvergenz:
[mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n(\varepsilon) [/mm] [Bei leduart ein N] gibt, so das für alle [mm] n\ge n(\varepsilon) |a_{n}-a|<\varepsilon.
[/mm]
da [mm] \varepsilon [/mm] frei wählbar ist gibt es ein solches [mm] n(\varepsilon) [/mm] natürlich auch für [mm] \bruch{\varepsilon}{2}.
[/mm]
Was meint in jeder [mm] \varepsilon [/mm] - Kugel [mm] (\varepsilon [/mm] - Umgebung) um a müssen bis auf endlich viele Ausnahmen alle Folgeglieder von [mm] a_{n} [/mm] liegen.
[mm] \varepsilon [/mm] - Kugel um a beschreibt nichts anderes als das Intervall [mm] (a-\varepsilon, a+\varepsilon)
[/mm]
[mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ist in diesem Fall (Aufgabe a)gewählt, weil [mm] \bruch{\varepsilon}{2}+\bruch{\varepsilon}{2}=\varepsilon [/mm] ist und damit der Formulierung der Definition entspricht.
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