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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mit Hilfe der ε − [mm] n_0-Definition [/mm] der Konvergenz reeller Zahlenfolgen:
a [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{5n^3 + 3(-1)^n} [/mm] = 0
b [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^n + 2}{n} \not= [/mm] -1 |
Nach meiner Definition:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
Beweis:
| [mm] a_n [/mm] - 0 | = [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] a_n| [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{5n^3 + 3(-1)^n} [/mm] | = [mm] \varepsilon
[/mm]
Könnte mir jemand bei der Umformung helfen?
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Hallo,
> Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mit Hilfe der ε
> − [mm]n_0-Definition[/mm] der Konvergenz reeller Zahlenfolgen:
>
> a [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{5n^3 + 3(−1)^n}[/mm]
> = 0
> b [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(−1)^n + 2}{n} \not=[/mm]
> -1
> Nach meiner Definition:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 0
Das ist der Grenzwert, aber nicht deine Definition ...
>
> Beweis:
> | [mm]a_n[/mm] - 0 | = [mm]\varepsilon[/mm]
So steht das bei euch?
> | [mm]a_n|[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{5n^3 + 3(−1)^n}[/mm] | = [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Könnte mir jemand bei der Umformung helfen?
Schlage dringendst die Def. des GW nach!
Du musst dir ein beliebiges positives [mm]\varepsilon[/mm] vorgeben und ein [mm]n_0[/mm] "konstruieren", so dass für alle [mm]n>n_0[/mm] gilt: [mm]|a_n-0|<\varepsilon[/mm]
Dazu schaust du dir den Betrag an und schätzt ihn "geschickt" ab.
[mm]|a_n-0|=|a_n|=\left|\frac{1}{5n^3+3(-1)^n}\right|=\frac{1}{5n^3+3(-1)^n}[/mm]
Nun gilt es, das weiter nach oben abzuschätzen, du musst den Bruch geschickt vergrößern. Dazu kannst du zB. den Nenner verkleinern.
Schaue dir [mm]5n^3+3(-1)^n[/mm] an. Hinten steht immer [mm]\pm 3[/mm]
Das kannst du großzügig durch [mm]-n^3[/mm] abschätzen:
[mm]5n^3+3(-1)^n \ \ge \ 5n^3-n^3 \ = \ 4n^3[/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 2$ - klar, warum?
Also [mm]\frac{1}{5n^3+3(-1)^n} \ \le \ \frac{1}{4n^3}[/mm]
Und das soll [mm]<\varepsilon [/mm] sein, also
[mm]\frac{1}{4n^3}<\varepsilon \ \gdw \ n>\frac{1}{\sqrt[3]{4\varepsilon}}[/mm]
Diese Rechnung ist für das Schmierblatt - keiner muss wissen, wie du an das [mm]n_0[/mm] kommst ....
Aufschreiben kannst du es so:
Beh. [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0[/mm]
Bew.: Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig, wähle [mm]n_0>{\sqrt[3]{4\varepsilon}}[/mm] (kannst du die nächstgrößere nat. Zahl angeben?)
Dann gilt für alle [mm]n>n_0[/mm]: [mm]|a_n-0|=...\le ... <\varepsilon[/mm] (die Rechnung vom Schmierblatt)
Hoffe, das hilft weiter für derartige Beweise ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
Habe jetzt also:
| [mm] \bruch{1}{5n^3 + 3(−1)^n} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{5n^3 + n^3} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{4n^3} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] | < [mm] 4n^3
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{4 \wurzel[3]{\varepsilon}} [/mm] | < n
Ist das richtig ?
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Hallo nochmal,
> Habe jetzt also:
>
> | [mm]\bruch{1}{5n^3 + 3(−1)^n}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{5n^3 + n^3}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{4n^3}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] | < [mm]4n^3[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{4 \wurzel[3]{\varepsilon}}[/mm] | < n
>
> Ist das richtig ?
Naja, nicht so ganz. Du musst von [mm] $|a_n-GW|$ [/mm] ausgehen und immer weiter abschätzen, bis am Ende [mm] $<\varepsilon$ [/mm] dasteht. Die Schritte in der Abschätzung habe ich ja alle oben hingeschrieben.
Schreibe mal den Beweis ganz sauber auf:
" Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $n_0=...$ [/mm] Dann gilt für [mm] $n>n_0$: $|a_n-0|=|a_n|=---\le...<\varepsilon$ [/mm] "
Wenn du das einmal ausführlich hinschreibst (fülle alle ... und ---), bekommst du ein Gefühl dafür - die Abschätzungen stehen oben - kannst du sie alle nachvollziehen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 02.11.2015 | | Autor: | rsprsp |
> Hallo nochmal,
> > Habe jetzt also:
> >
> > | [mm]\bruch{1}{5n^3 + 3(−1)^n}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> > | [mm]\bruch{1}{5n^3 + n^3}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> > | [mm]\bruch{1}{4n^3}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> > | [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] | < [mm]4n^3[/mm]
> > | [mm]\bruch{1}{4 \wurzel[3]{\varepsilon}}[/mm] | < n
> >
> > Ist das richtig ?
>
> Naja, nicht so ganz. Du musst von [mm]|a_n-GW|[/mm] ausgehen und
> immer weiter abschätzen, bis am Ende [mm]<\varepsilon[/mm] dasteht.
> Die Schritte in der Abschätzung habe ich ja alle oben
> hingeschrieben.
>
> Schreibe mal den Beweis ganz sauber auf:
>
" Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]n_0= \bruch{1}{4 \wurzel[3]{\varepsilon}} Dann gilt für [mm]n>n_0[/mm]:
$ |a_n-0|=|a_n|=\left|\frac{1}{5n^3+3(-1)^n}\right|=\frac{1}{5n^3+3(-1)^n} $ = \frac{1}{4n^3} \le \varepsilon[/mm] "
>
> Wenn du das einmal ausführlich hinschreibst (fülle alle
> ... und ---), bekommst du ein Gefühl dafür - die
> Abschätzungen stehen oben - kannst du sie alle
> nachvollziehen?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Di 03.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
Wir setzen
[mm] $a_n=\frac{1}{5n^3+(-1)^n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Behauptung:
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=0$.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig.
Wähle [mm] $n_0>\frac{1}{\sqrt[3]{4\epsilon}}$.
[/mm]
(Kannst du ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] angeben?)
Dann gilt
[mm] $|a_n|\le\frac{1}{4n^3}<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n>n_0$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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