Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 12.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | [mm] \summe^{\infty}_{n=0} =\bruch{(-1)^{n+1} +2^n}{3}. [/mm] Konvergenzintervall [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Zu untersuchen sind jetzt noch die Ränder, also x= - [mm] \bruch{1}{2}, x=\bruch{1}{2}. [/mm] |
Hallo,
das ganze ist Teil einer größeren Aufgabe. Die Lösung zu diesem Problem hier betrachtet die Folge [mm] a_{2k}x^{2k} [/mm] und stellt felst, dass diese für [mm] x->\infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] geht. Damit ist das ganze keine Nullfolge und somit divergiert die Reihe für für x= [mm] \pm \bruch{1}{2}.
[/mm]
Mein Vorgehen:
Ich hätte die Punkte einzeln untersucht. Also für [mm] x=-\bruch{1}{2}:
[/mm]
[mm] a_n x^n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}+2^n}{3} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2})^n= \bruch{(-1)^{n}(- \bruch{1}{2})^n (-1)+2^n(- \bruch{1}{2})^n}{3}=\bruch{(\bruch{1}{2})^n(-1)+(-1)^n}{3}=\bruch{(-1)^n-(\bruch{1}{2})^n}{3}
[/mm]
Frage 1:
[mm] (\bruch{1}{2})^n [/mm] geht gegen 0 für [mm] n->\infty. [/mm] Aber was für eine Aussage kann ich bezüglich eines Grenzwertes einer Folge treffen, wenn diese alternierend ist?
Frage 2:
Wieso genügt es die Potenz wie in der Lösung zu wählen? Durch die Wahl ist der Exponent ja gerade und es wird dann doch nur der Fall [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] betrachtet.
Wo ist mein Denkfehler??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe^{\infty}_{n=0} =\bruch{(-1)^{n+1} +2^n}{3}.[/mm]
Du meinst wohl die Potenzreihe
[mm]\summe^{\infty}_{n=0}\bruch{(-1)^{n+1} +2^n}{3}x^n[/mm]
> Konvergenzintervall [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] < x < [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Stimmt.
> Zu untersuchen sind jetzt noch die Ränder, also x= -
> [mm]\bruch{1}{2}, x=\bruch{1}{2}.[/mm]
> Hallo,
> das ganze ist Teil einer größeren Aufgabe. Die Lösung
> zu diesem Problem hier betrachtet die Folge [mm]a_{2k}x^{2k}[/mm]
> und stellt felst, dass diese für [mm]x->\infty[/mm] gegen
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] geht. Damit ist das ganze keine Nullfolge und
> somit divergiert die Reihe für für x= [mm]\pm \bruch{1}{2}.[/mm]
Das ist korrekt.
>
> Mein Vorgehen:
> Ich hätte die Punkte einzeln untersucht. Also für
> [mm]x=-\bruch{1}{2}:[/mm]
> [mm]a_n x^n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{n+1}+2^n}{3}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{2})^n= \bruch{(-1)^{n}(- \bruch{1}{2})^n (-1)+2^n(- \bruch{1}{2})^n}{3}=\bruch{(\bruch{1}{2})^n(-1)+(-1)^n}{3}=\bruch{(-1)^n-(\bruch{1}{2})^n}{3}[/mm]
>
> Frage 1:
> [mm](\bruch{1}{2})^n[/mm] geht gegen 0 für [mm]n->\infty.[/mm] Aber was
> für eine Aussage kann ich bezüglich eines Grenzwertes
> einer Folge treffen, wenn diese alternierend ist?
Für $ [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] $ ist die Folge [mm] (a_n x^n) [/mm] nicht konvergent !
Die Teilfolge [mm] (a_{2k}x^{2k}) [/mm] hat den Grenzwert [mm] $\bruch{1}{3} [/mm] $ und die Teilfolge [mm] (a_{2k-1}x^{2k-1}) [/mm] hat den Grenzwert [mm] $-\bruch{1}{3} [/mm] $
Wie auch immer, die Folge [mm] (a_n x^n) [/mm] ist jedenfalls keine Nullfolge und somit divergiert die Potenzreihe in $ [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] $.
>
> Frage 2:
> Wieso genügt es die Potenz wie in der Lösung zu wählen?
Allgemein: sei [mm] (b_n) [/mm] eine Folge und [mm] (b_{n_k}) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (b_n).
[/mm]
Ist [mm] (b_{n_k}) [/mm] keine Nullfolge, so ist auch [mm] (b_n) [/mm] keine Nullfolge.
FRED
> Durch die Wahl ist der Exponent ja gerade und es wird dann
> doch nur der Fall [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] betrachtet.
>
>
> Wo ist mein Denkfehler??
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Mi 12.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
Perfekt!
Alles geklärt, DANKE!
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