Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] a_{n}:=2^{2n}\vektor{2n \\ n}^{-1}. [/mm] Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{n} [/mm] auf Konvergenz. |
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}2^{2n}\vektor{2n \\ n}^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{\infty}4^{n}\bruch{1}{\vektor{2n \\ n}}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{\infty}4^{n}\bruch{1}{\bruch{(2n)!}{n!*n!}}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{\infty}4^{n}\bruch{4^n*n!*n!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{4^{n+1}*(n+1)!*(n+1)!*(2n)!}{(2n+2)!*n!*n!*4^n}|
[/mm]
Also bei mir kommt leider 1 raus, sodass mir das Quotientenkriterium hier nicht hilft?!
Ist es erlaubt die geometrische Reihe von der anderen abzuspalten und beide getrennt zu untersuchen? Dann hätte ich [mm] \bruch{1}{4}*\infty [/mm] also Divergenz
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Ich habe mich bloß vertippt beim eingeben. Die doppelte [mm] 4^n [/mm] existiert in meiner Rechnung natürlich nicht.
Die Betrachtung danach, also mit dem Quotientenkriterium, sollte aber richtig sein.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{4^{n+1}\cdot{}(n+1)!\cdot{}(n+1)!\cdot{}(2n)!}{(2n+2)!\cdot{}n!\cdot{}n!\cdot{}4^n}|
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})*4}{(2+\bruch{1}{n})*(2+\bruch{2}{n})} \to [/mm] 1
Reicht als Lösung nun also zu schreiben: Da [mm] |q|\ge [/mm] 1 bilden die Summanden [mm] q^n [/mm] keine Nullfolge, also ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty}4^n [/mm] divergent und somit die gesamte Reihe divergent?
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Encore une fois allô, esprit de tourmente!
> Ich habe mich bloß vertippt beim eingeben. Die doppelte
> [mm]4^n[/mm] existiert in meiner Rechnung natürlich nicht.
Ah, gut.
> Die Betrachtung danach, also mit dem Quotientenkriterium,
> sollte aber richtig sein.
Die Betrachtung schon, die Auswertung nicht.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{4^{n+1}\cdot{}(n+1)!\cdot{}(n+1)!\cdot{}(2n)!}{(2n+2)!\cdot{}n!\cdot{}n!\cdot{}4^n}|[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(1+\bruch{1}{n})*(1+\bruch{1}{n})*4}{(2+\bruch{1}{n})*(2+\bruch{2}{n})} \to[/mm]
> 1
>
> Reicht als Lösung nun also zu schreiben: Da [mm]|q|\ge[/mm] 1
> bilden die Summanden [mm]q^n[/mm] keine Nullfolge, also ist
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}4^n[/mm] divergent und somit die gesamte
> Reihe divergent?
Leider nein, weil q=1 einfach keine Aussage liefert. Es bleiben im wesentlichen nun noch das Wurzelkriterium und das Minorantenkriterium. Was liefern die?
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 23.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Reicht als Lösung nun also zu schreiben: Da [mm]|q|\ge[/mm] 1
> bilden die Summanden [mm]q^n[/mm] keine Nullfolge
Den Nachweis für [mm] q\ge1 [/mm] hast du noch gar nicht geführt.
Wenn du das aber zeigst, ist bewiesen, dass die Folge der Summanden [mm] a_n [/mm] (nicht [mm] q^n) [/mm] monoton wächst, also keine Nullfolge sein kann.
> also ist
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}4^n[/mm] divergent und somit die
> gesamte Reihe divergent?
Diese Summe zu betrachten um damit auf die Konvergenz/Divergenz der gegebenen Reihe zu schließen ist völlig unmöglich.
Gruß Sax.
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Also zeige ich nun das: [mm] |a_{n}|\le|a_{n+1}|
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!*n!*4^n}{(2n)!}\le\bruch{(n+1)!*(n+1)!*4^{n+1}}{(2n+2)!}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!*n!}{4}\le\bruch{(n+1)!*(n+1)!}{(2n+1)*(2n+2)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2*(n+1)*(n+1)}\le\bruch{1}{(2n+1)*(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2n+2}\le\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Damit ist die Folge [mm] a_{n} [/mm] monoton wachsend und Konvergenz ausgeschlossen?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 23.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das ist so in Ordnung.
Gruß Sax.
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