Konvergenz- Kleine Probleme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:34 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Ähm, ich machs kurz. ich kenne zwar die Regeln, also Monotonieprinzip, Quotientenkriterium, ... und hab die auch verstanden, nur gerade die Aufgaben kriege ich nicht hin. Hab auch gegoogelt und nach Beispielaufgaben gesucht, aber die waren wesentich einfacher. Nur meine krieg ich also nicht hin :(
Man soll die Folgen auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert bestimmen. Ich schreib erstmal nur die erste hin:
Die Folge ist: (1 * [mm] \bruch{1}{n})^{2n}
[/mm]
Mein Ansatz war zu sagen, dass dort steht:
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} \* [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] = e [mm] \* [/mm] e = [mm] e^{2}
[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, ob man das einfach so machen darf oder ob man anders an die Aufgabe rangehen müsste, um dies auf Konvergenz zu untersuchen. Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast also die Folge
[mm] $a_n=(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^{2n} [/mm] $
Dann gilt: [mm] $a_n=( [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n})^2 \to e^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..also war meins doch nicht so falsch, oder? Was folgere ich dann daraus? Ist [mm] e^{2} [/mm] dann der Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmm..also war meins doch nicht so falsch, oder?
Es war richtig
> Was folgere
> ich dann daraus? Ist [mm]e^{2}[/mm] dann der Grenzwert?
Ja, was sonst
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Danke. Kannst du mir auch bei den nächsten drei auch kurz helfen bzw. mir einen Denkantoß geben? ;)
Bei drei Folgen:
(1 - [mm] \bruch{1}{3n})^{2n-1}
[/mm]
n [mm] (\wurzel[n]{n} [/mm] -1 )
[mm] \wurzel[n]{3^{n}+ 4^{n}}
[/mm]
Wie gesagt, son Ansatz bräuchte ich? Mir fällts schwer hier den Anfang zu finden
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Hallo SolRakt,
> Danke. Kannst du mir auch bei den nächsten drei auch kurz
> helfen bzw. mir einen Denkantoß geben? ;)
>
> Bei drei Folgen:
>
>
> (1 - [mm]\bruch{1}{3n})^{2n-1}[/mm]
Schreibe das um wie in der anderen Aufgabe
[mm]\left(1-\frac{1}{3n}\right)^{2n-1}=\left[\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n\right]^2\cdot{}\left(1-\frac{1}{3n}\right)^{-1}[/mm]
Nun [mm]n\to\infty[/mm]
>
>
> n [mm](\wurzel[n]{n}[/mm] -1 )
Muss ich noch überlegen .. 
>
> [mm]\wurzel[n]{3^{n}+ 4^{n}}[/mm]
Klammere unter der Wurzel [mm]4^n[/mm] aus, ziehe es aus der Wurzel und dann [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Wie gesagt, son Ansatz bräuchte ich? Mir fällts schwer
> hier den Anfang zu finden
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Das erste Term geht dann doch wieder gegen [mm] e^{2} [/mm] und der zweite gegen 1 oder? Also beim ersten Beispiel?
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Hallo nochmal,
nein, es ist [mm]\left(1-\frac{\frac{1}{3}}{n}\right)^n=\left(1+\frac{\red{-\frac{1}{3}}}{n}\right)^n[/mm]
Und [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \ = \ e^x[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
Also ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Das x wäre ja dann (-1/3). Also dann kommt da nicht einfach nur [mm] e^{2}, [/mm] sondern [mm] e^{-1/3}^{2} [/mm] raus, also wiederum [mm] e^{-2/3}. [/mm] Aber der rechte Term ergibt doch eins oder? Das stimmte doch?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das x wäre ja dann (-1/3). Also dann kommt da nicht
> einfach nur e^{2}, sondern e^{-1/3)^{2} raus, also wiederum
> e^{-2/3}. Aber der rechte Term ergibt doch eins oder? Das
> stimmte doch? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, stimmt!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
>
> n [mm](\wurzel[n]{n}[/mm] -1 )
>
Schreibe um: [mm]n(\sqrt[n]{n}-1)=\frac{\sqrt[n]{n}-1}{\frac{1}{n}}[/mm]
Dies strebt bei direktem Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm], also einen unbestimmten Ausdruck.
Wende die Regel von de l'Hôpital an!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich versteh zwar was du machst (danke dafür), aber die Regel, die du da ansprichst, hab ich leider nicht verstanden. Oder ich weiß nicht, worauf die hinaus möchtest?
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Hallo,
die Frage ist, ob ihr die Regel hattet.
Falls ja, darfst du sie verwenden.
Leite Zähler und Nenner getrennt ab und dann erneut [mm]n\to\infty[/mm].
Schau's nochmal genau nach!
Falls ihr die Regel nicht hattet, dann darfst du sie auch nicht verwenden.
Ich sehe aber gerade keine ins Auge springende Alternative, was an meiner zunehmenden (mathemat.) Blindheit liegen mag ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]")
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..bin mir nicht sicher, aber ich hab den Namen schonmal gehört ;) Aber selbst dann käme immer noch -> [mm] \bruch{0}{0} [/mm] als Grenzwert raus. Das geht ja nicht, oder?
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Hallo
> Hmm..bin mir nicht sicher, aber ich hab den Namen schonmal
> gehört ;) Aber selbst dann käme immer noch ->
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] als Grenzwert raus. Das geht ja nicht, oder?
Das ginge schon und du könntest erneut die Regel anwenden.
Ich komme aber auf etwas anderes als [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] nach der ersten de l'Hôpitalkur
Vllt. rechnest du mal die Ableitungen von Zähler und Nenner (getrennt!!) vor ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, mach ich ;)
Also, die Ableitung vom Nenner, also 1/n ist - [mm] \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die vom Zähler kann man ja getrennt machen. Die Ableitung von 1 ist demnach 0. die Ableitung von [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] ist doch so zu bestimmen, Man kann ja auch schreiben:
[mm] n^{\bruch{1}{n}} [/mm]
Das abgeleitet ist:
[mm] \bruch{1}{n} \* n^{\bruch{1}{n} - 1} [/mm] oder?
So, und da 1/n gegen 0 geht, geht der Zähler und der Nenner gegen 0?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab das jetzt mal gemacht:
Zur Ableitung muss man ja, wie du sagtest, die Kettenregel anwenden, aber dabei auch die Produktregel für den Exponenten von e.
Da steht dann (abgeleitet)
(ln(n) [mm] \* [/mm] (- [mm] n^{-2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} \* n^{-1}) \* e^{ln(n) \* n^{-1}}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{n^{2}} \* [/mm] (-ln(n) +1 )) [mm] \* e^{...}
[/mm]
Aber was ist "stärker", der Logarithmus oder die Potenz? Wenns letzteres wäre, käme da ja wieder 0 raus. Also betrachte grade die Klammer. Aber die e funktion ist noch stärker oder? xD Was folgert man jetzt?
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Hallo nochmal,
> Hab das jetzt mal gemacht:
>
> Zur Ableitung muss man ja, wie du sagtest, die Kettenregel
> anwenden, aber dabei auch die Produktregel für den
> Exponenten von e.
>
> Da steht dann (abgeleitet)
>
> (ln(n) [mm]\*[/mm] (- [mm]n^{-2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{n} \* n^{-1}) \* e^{ln(n) \* n^{-1}}[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{n^{2}} \*[/mm] (-ln(n) +1 )) [mm]\* e^{...}[/mm]
>
> Aber was ist "stärker", der Logarithmus oder die Potenz?
> Wenns letzteres wäre, käme da ja wieder 0 raus. Also
> betrachte grade die Klammer. Aber die e funktion ist noch
> stärker oder? xD Was folgert man jetzt?
Du musst den Nenner auch mit einbeziehen. Schreiben wir für [mm]e^{(...)}[/mm] wieder [mm]\sqrt[n]{n}[/mm]
Dann hast du richtig berechnet: [mm]\frac{\text{Ableitung Zähler}}{\text{Ableitung Nenner}}=\frac{\frac{1}{n^2}\cdot{}\left(-\ln(n)+1\right)\cdot{}\sqrt[n]{n}}{-\frac{1}{n^2}}[/mm]
[mm]=(\ln(n)-1)\cdot{}\sqrt[n]{n}[/mm]
Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Das hängt davon ab, welches stärker wächst, also Wurzel oder Logarithmus. Ich tippe mal die Wurzel. Diese geht gegen 1 und damit das Ganze gegen ln(n) -1 Oder?
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Hallo nochmal,
> Das hängt davon ab, welches stärker wächst, also Wurzel
> oder Logarithmus.
???
> Ich tippe mal die Wurzel. Diese geht
> gegen 1 und damit das Ganze gegen ln(n) -1 Oder?
Ja, und [mm]\ln(n)\longrightarrow \infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Also divergiert der Quotient der Ableitungen bestimmt gegen [mm]\infty[/mm]
Was sagt de l'Hôpital dazu im Hinblick auf den GW des Ausgangsterms?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber das weiß ich nicht. Ich bin mir ja immer noch nicht sicher, ob diese Regel bereits Thema war xD Kannst du mir das mal kurz erklären?
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Hallo nochmal,
langsam wird's unlustig!
> Sry aber das weiß ich nicht. Ich bin mir ja immer noch
> nicht sicher, ob diese Regel bereits Thema war
Dann kläre das, bevor wir hier sinnlos weitermachen.
Wenn es nicht dran war, darfst du es nicht verwenden - Schluss und Aus!
> xD Kannst du
> mir das mal kurz erklären?
Dazu habe ich keine gesteigerte Lust, ich hatte dir geraten dich diesbzgl. schlau zu machen.
Wikipedia ist neben dem Skript oder einem ANA1-Buch eine gute Anlaufstelle.
Auf Wikipedia steht's erklärt und auch, wie es in unserem Falle hier mit der Konvergenz des Ausgangsterms bestellt ist.
Also lies es nach!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:13 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry sollte nicht so rüberkommen, als hätte ich nicht drüber nachgedacht oder so. Wir dürfen die Regel aber nicht anwenden, hab gefragt. Kann man das auch anders lösen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Sa 27.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ähm, ich machs kurz. ich kenne zwar die Regeln, also
> Monotonieprinzip, Quotientenkriterium, ... und hab die auch
> verstanden, nur gerade die Aufgaben kriege ich nicht hin.
> Hab auch gegoogelt und nach Beispielaufgaben gesucht, aber
> die waren wesentich einfacher. Nur meine krieg ich also
> nicht hin :(
>
> Man soll die Folgen auf Konvergenz untersuchen und den
> Grenzwert bestimmen. Ich schreib erstmal nur die erste
> hin:
>
> Die Folge ist: (1 * [mm]\bruch{1}{n})^{2n}[/mm]
>
> Mein Ansatz war zu sagen, dass dort steht:
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n} \*[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n}[/mm] = e [mm]\*[/mm] e
> = [mm]e^{2}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich aber nicht, ob man das einfach so machen
> darf oder ob man anders an die Aufgabe rangehen müsste, um
> dies auf Konvergenz zu untersuchen. Danke schonmal
das, was Du benutzt hast, ist dass das Produkt zweier konvergenter Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Was Fred benutzt hat, kann man z.B. mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion begründen (das wäre z.B. bei anderen Exponenten wichtig!), oder aber eine direkte Folgerung aus dem obigen Satz:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, dann folgt [mm] $a_n^k \to a^k$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
P.S.:
Unbedingt nachlesen:
[mm] $$a_n \to [/mm] a [mm] \text{ und }b_n \to [/mm] b [mm] \Rightarrow a_n+b_n \to [/mm] a+b$$
(In Worten: Wenn die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $b\,$ [/mm] ist, dann ist die "Summenfolge" konvergent gegen die Summe der Grenzwerte, also gegen [mm] $a+b\,.$)
[/mm]
und analoges (für Produkte etc. pp.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Muss ich also zeigen, dass ich diesen Rechenschritt ausführen darf oder ist das ok?
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Hallo nochmal,
> Muss ich also zeigen, dass ich diesen Rechenschritt
> ausführen darf oder ist das ok?
In jedem Falle (kurz) begründen mit einem Verweis auf die Grenzwertsätze, die ja mit Sicherheit dran waren.
Falls nicht, musst du mehr investieren ... oder die GW-Sätze zeigen ...
Für solche Fälle sind die ja da, dass man nicht immer alles vom Urknall an aufrollen muss ...
Gruß
schachuzipus
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