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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\pi}cot(x)\, [/mm] dx |
Hallo mal wieder :)
hab das erstmal umgeschrieben
[mm] \integral_{0}^{\pi}\bruch{cos(x)}{sin(x)}\, [/mm] dx
hab das ganze dann substituiert:
u=sin(x) [mm] dx=\bruch{1}{cos(x)}
[/mm]
also erhalte ich:
[mm] \integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{u}\, [/mm] dx
mit der Stammfunktion
F(u)=ln(u) und somit für F(x)=ln(sin(x))
Wenn ich die Grenzen dann einsetze:
[mm] ln(sin(\pi))-ln(sin(0))
[/mm]
und so dann ja
ln(0)-ln(0)
in welcher Form kann ich dann aussagen darüber machen ob das ganze konvergiert???
mfg
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Hallo MatheFreak,
da stimmt was nicht.
> [mm]\integral_{0}^{\pi}cot(x)\,[/mm] dx
> Hallo mal wieder :)
>
> hab das erstmal umgeschrieben
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\bruch{cos(x)}{sin(x)}\,[/mm] dx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hab das ganze dann substituiert:
>
> u=sin(x) [mm]dx=\bruch{1}{cos(x)}[/mm]
Naja. Das sollte schon heißen [mm] dx=\bruch{\blue{du}}{\cos{x}}
[/mm]
> also erhalte ich:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\bruch{1}{u}\,[/mm] dx
Gewiss nicht. Das Differential ist zu ersetzen (das hast Du nur zum Teil getan, indem Du den [mm] \cos{x} [/mm] säuberlich entfernt hast, aber das dx steht noch da). Außerdem sind auch die Grenzen zu substituieren. Und genau da beginnt das Problem.
> mit der Stammfunktion
>
> F(u)=ln(u) und somit für F(x)=ln(sin(x))
Das ist richtig - außer dass die Integrationskonstante fehlt! -, aber eben oben nicht sauber aufgeschrieben.
> Wenn ich die Grenzen dann einsetze:
>
> [mm]ln(sin(\pi))-ln(sin(0))[/mm]
>
> und so dann ja
>
> ln(0)-ln(0)
>
> in welcher Form kann ich dann aussagen darüber machen ob
> das ganze konvergiert???
Tja. Da sind die beiden Randpunkte wohl gar nicht definiert. Darum sollst Du ja eine Konvergenzuntersuchung anstellen.
Deine Stammfunktion ist symmetrisch zu [mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Es empfiehlt sich daher, das Integral an dieser Grenze aufzuteilen. Dann stellst Du fest, dass die beiden Teile gleich groß sind.
Es genügt also, einen davon zu untersuchen - und das geht.
Na dann, viel Erfolg.
Grüße
reverend
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