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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 So 20.11.2005 | | Autor: | Mihi |
Hi Leute,
dies ist die erste Frage, die ich einschicke,obwohl ich schon dutzende hätte stellen können.
Es geht um folgende Aufgabe:
Zeige, dass die Folge [mm] a(n)=(n^2+1) /n^2+n+1 [/mm] (n=1,2,3,...)
den Grenzwert 1 hat, indem sie zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein n( [mm] \varepsilon) [/mm] angeben, sodass gilt [mm] |a_{n}-1 |<\varepsilon [/mm] für alle natürlichen Zahlen [mm] n>n(\varepsilon)
[/mm]
Ich kann mir schon vorstellen wie die Folge als Abbildung aussieht. Eine Idee von mir: Eine folge ist eine bijektive Abb. [mm] \IN [/mm] auf [mm] a_{n} [/mm] ist.
Muss ich dann einfach die Umkehrabb. bilden sodass ich dann eine Abb der Folgeglieder auf die nat. Zahlen habe??? Also die n in der Gleichun durch [mm] a_{n} [/mm] ersetze?
Eine zweite Frage: Was ist der Unterschied zwischen dem Begriff Grenzwert und der konstanten C gegen die eine Beschränkte Folge strebt oder ist dies bloß eine Art Supremum oder ein Hoch- oder Tiefpunkt der "Folgenabbildung".
Ihr seht ich bin total im Dunklen, was nicht zuletzt den Proffessoren zuzuschreiben ist, die alles"Trivial" finden und ihre Vorlesung runterbeten und den Studenten mit oberkomplizierten Beweisen und abstrakt formulierten Sätzen abspeisen. Das Verständnis, das Handwerkszeug, ist so mit Nichten gegeben.
Im Voraus ein Dank an die Beantwortung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 20.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Zeige, dass die Folge [mm]a(n)=(n^2+1) /n^2+n+1[/mm] (n=1,2,3,...)
> den Grenzwert 1 hat, indem sie zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0
> ein n( [mm]\varepsilon)[/mm] angeben, sodass gilt [mm]|a_{n}-1 |<\varepsilon[/mm]
> für alle natürlichen Zahlen [mm]n>n(\varepsilon)[/mm]
Ich hoffe, da fehlt oben im zweiten Teil eine Klammer, also [m](n^2+n+^)[/m]. Dann gehe wie folgt vor: mache zeurst eine Polynomdivision, bzw. bringe [m]\bruch{n^2+1)}{n^2+n+1}-1[/m] auf einen Nenner. Jetzt nimm dir ein beliebiges [m]\varpesilon >0[/m] und betrachte die Ungleichung, jetzt versuch ein bisschen umzuformen, zB mal mit dem Nenner multiplizieren. Irgendwann solltest du dann das Archimedische Axiom benutzen könenn - so findest du dann die Schranke [m][mm] n(\varepsilon)[7m].
[/mm]
> Ich kann mir schon vorstellen wie die Folge als Abbildung
> aussieht. Eine Idee von mir: Eine folge ist eine bijektive
> Abb. [mm]\IN[/mm] auf [mm]a_{n}[/mm] ist.
Die hier ja, aber im allgemeinen nein. außerdem hat es mit der aufgabe kaum was zu tun.
> Muss ich dann einfach die Umkehrabb. bilden sodass ich
> dann eine Abb der Folgeglieder auf die nat. Zahlen habe???
Nein, hier geht es um Konvergenz.Du sollst zeigen, daß die Folge gegen 1 konvergiert.
> Also die n in der Gleichun durch [mm]a_{n}[/mm] ersetze?
Wie bitte?
> Eine zweite Frage: Was ist der Unterschied zwischen dem
> Begriff Grenzwert und der konstanten C gegen die eine
> Beschränkte Folge strebt
soll hier beschränkt konvergent heißen? Außerdem seh ich hier keine zwei Begriffe - Grenzwerte muss man ja irgendwie abkürzen, wenn halt mit C, dann mit C.
> oder ist dies bloß eine Art
> Supremum oder ein Hoch- oder Tiefpunkt der
> "Folgenabbildung".
Das müssen nicht die Grenzwete sein. Ich glaub, du solltest (vielleicht auch auf Wikipedia und in Skripten), mal die Definitionen nachschlagen von Folgen, Grenzwerten, Supremum.
> Ihr seht ich bin total im Dunklen, was nicht zuletzt den
> Proffessoren zuzuschreiben ist, die alles"Trivial" finden
> und ihre Vorlesung runterbeten und den Studenten mit
> oberkomplizierten Beweisen und abstrakt formulierten Sätzen
> abspeisen.
Ah, das alte Lied ... geht ja vielen so, dass sie am Anfang kaum was verstehen. Du solltest dann auchmal nachfragen - den Professor/Übungsgruppenleite/Kommilitionen/hier wenn dir besimmte Begriffe/Beweise nicht klar sind.
SEcki
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