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| Aufgabe | Untersuche ob die Folge (an) mit
[mm]a_n=\sqrt{n^2+n}-n[/mm] konvergent sind, ud berechne gegebenenfalls den Grenzwert |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir überlegt die Konvergenz zu beweisen indem ich zeige, dass (an) eine Cauchy-Folge ist.
Also: [mm]\forall\varepsilon>0\exists N\in\IN\forall n,m \ge N : |an-am|<\varepsilon[/mm]
Leider bin ich dabei zu keinem Ergebnis bekommen, mache das zum ersten Mal. Meine Schritte bis jetzt:
[mm]|(\sqrt{n^2+n}-n)-(\sqrt{m^2+m}-m)|\le |-\sqrt{m^2+m}-m|+|\sqrt{n^2+n}-n|[/mm]
Und dann hörts auf. Ich könnte auch Monotonie und Beschränktheit beweisen.
Der Grenzwert ist 0,5, das weiß ich bereits. Jetzt wollte ich den Sandwichsatz anwenden.
[mm]0,5\le \sqrt{n^2+n}-n = \bruch{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \bruch{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n}[/mm]
Aber dann fält mir nix weiter ein, also eine Folge die auch 0,5 als Grenzwert hat und größer ist.
Für Tipps bin ich dankbar.
Liebe Güße Angelnoir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 01.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche ob die Folge (an) mit
> [mm]a_n=\sqrt{n^2+n}-n[/mm] konvergent sind, ud berechne
> gegebenenfalls den Grenzwert
>
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe mir überlegt die Konvergenz zu beweisen indem ich
> zeige, dass (an) eine Cauchy-Folge ist.
Das wir mühsam ......
> Also: [mm]\forall\varepsilon>0\exists N\in\IN\forall n,m \ge N : |an-am|<\varepsilon[/mm]
>
> Leider bin ich dabei zu keinem Ergebnis bekommen, mache das
> zum ersten Mal. Meine Schritte bis jetzt:
> [mm]|(\sqrt{n^2+n}-n)-(\sqrt{m^2+m}-m)|\le |-\sqrt{m^2+m}-m|+|\sqrt{n^2+n}-n|[/mm]
>
> Und dann hörts auf. Ich könnte auch Monotonie und
> Beschränktheit beweisen.
> Der Grenzwert ist 0,5, das weiß ich bereits. Jetzt wollte
> ich den Sandwichsatz anwenden.
> [mm]0,5\le \sqrt{n^2+n}-n = \bruch{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \bruch{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n}[/mm]
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> Aber dann fält mir nix weiter ein, also eine Folge die
> auch 0,5 als Grenzwert hat und größer ist.
> Für Tipps bin ich dankbar.
Du bist fast am Ziel.
klammere im Zähler und im Nenner von [mm] \bruch{n}{\sqrt{n^2+n}+n} [/mm] jeweils n aus
FRED
> Liebe Güße Angelnoir
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Okay irgendwie hab ich Quatsch gemacht glaube ich.
[mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}}[/mm]
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> Okay irgendwie hab ich Quatsch gemacht glaube ich.
> [mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}}[/mm]
>
Nein, das passt schon.... du solltest nur konsequent weiter umformen:
[mm]\bruch{n}{n}\bruch{1}{\bruch{\sqrt{n^2+n}}{n}+1}} = \bruch{1}{\sqrt{\bruch{n^2 + n}{n^2}} + 1} = \bruch{1}{\sqrt{1 + \bruch{1}{n}} + 1}[/mm]
Siehst dus jetzt?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Angelnoir |
Ja jetzt seh ichs... Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse:
[mm]\bruch{1}{n} \to 0[/mm]
[mm]\bruch{1}{\sqrt{1 + \bruch{1}{n}} + 1}\to \bruch{1}{2}[/mm]
Super!
Ich danke euch allen.
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