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| Aufgabe | bestimme den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^3+4} [/mm] |
huhu mal
eine selbsterfundene aufgabe zum Üben^^
man betrachtet ja hier die Reihe [mm] a_{n} [/mm] als [mm] \bruch{1}{n^3+4}
[/mm]
ich hab das Kriterium für Radius mit [mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] gemacht:
direkt den ausdruck als Kehrwert multipliziert ergibt:
lim sup [mm] |\bruch{(n+1)^3+4}{(n^3 +4)}| [/mm] = lim sup [mm] |\bruch{n^3+3n^2+3n+5}{n^3+4}| [/mm] dann hab ich die höchste potenz [mm] n^3 [/mm] im Zähler und nenner ausgeklammert, sodass alles gegen 0 läuft, außer lim sup [mm] |\bruch{1}{1}| [/mm] = 1 = konvergenzradius
ist das richtig?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> bestimme den Konvergenzradius von
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^3+4}[/mm]
> huhu mal
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> eine selbsterfundene aufgabe zum Üben^^
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> man betrachtet ja hier die Reihe [mm]a_{n}[/mm] als
> [mm]\bruch{1}{n^3+4}[/mm]
> ich hab das Kriterium für Radius mit
> [mm]|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm] gemacht:
>
> direkt den ausdruck als Kehrwert multipliziert ergibt:
>
> lim sup [mm]|\bruch{(n+1)^3+4}{(n^3 +4)}|[/mm] = lim sup
> [mm]|\bruch{n^3+3n^2+3n+5}{n^3+4}|[/mm] dann hab ich die höchste
> potenz [mm]n^3[/mm] im Zähler und nenner ausgeklammert, sodass
> alles gegen 0 läuft, außer lim sup [mm]|\bruch{1}{1}|[/mm] = 1 =
> konvergenzradius
>
> ist das richtig?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> bestimme den Konvergenzradius von
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^3+4}[/mm]
> huhu mal
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> eine selbsterfundene aufgabe zum Üben^^
>
> man betrachtet ja hier die Reihe [mm]a_{n}[/mm] als
> [mm]\bruch{1}{n^3+4}[/mm]
sei mir nicht böse, aber Deine Ausdrucksweise ist echt ein wenig "schlampig" (ich sage das deswegen ein wenig "brutal", weil es halt so ist, dass Dich in der Klausur sowas unnötig (viele) Punkte kosten könnte).
Du kannst meinetwegen sagen:
"Das ist eine Reihe über die [mm] $a_n \red{z^n}$ [/mm] mit [mm] $a_n:=\frac{1}{n^3+4}$..."
[/mm]
oder
"Das ist die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n z^n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=\frac{1}{n^3+4}$..."
[/mm]
oder etwas in der Art, aber die Sprechweise "Eine Reihe [mm] $a_n$..." [/mm] gibt's nicht, bzw. sie wäre unnötigerweise einfach nur verwirrend. Manche Leute sagen "Eine Folge [mm] $a_n$..." [/mm] (im Sinne von "Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$"), [/mm] das ist ein wenig gängiger (wenngleich ich diese Sprechweise auch - ehrlich gesagt - nicht mag - aber als "abkürzende Sprechweise" akzeptier' ich sie noch gerade so!).
P.S.:
Für welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] wäre [mm] $\sum_{n=10}^\infty a_n (z-z_0)^n$ [/mm] (mit [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] fest und den [mm] $a_n$ [/mm] von oben) sicherlich konvergent, für welche sicherlich divergent?
Wenn Du ein wenig üben willst: Kannst Du mir diese Frage beantworten?
P.P.S.:
Ich bin lieber ein wenig penibel und schreibe:
"Wir betrachten die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=1/(n^3+1)$ [/mm] ..." oder sowas, anstatt die (gängige, und durchaus auch gerechtfertigte, aber von mir nicht gemochte) "Kurzschreibweise": "Wir betrachten die Folge [mm] $a_n:=1/(n^3+1)$..."
[/mm]
Gruß,
Marcel
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hey,
ich würd gerne daran üben, allerdings hatten wir noch nie so eine Darstellung mit [mm] (z-z_{0}) [/mm] und so einer Fragestellung. wir haben eig immer (einfache) Reihen betrachtet wo simpel dass [mm] z^n [/mm] drin war.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 09.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> hey,
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> ich würd gerne daran üben, allerdings hatten wir noch nie
> so eine Darstellung mit [mm](z-z_{0})[/mm] und so einer
> Fragestellung. wir haben eig immer (einfache) Reihen
> betrachtet wo simpel dass [mm]z^n[/mm] drin war.
daran ist eigentlich nix wirklich neu:
Wenn Du in den Beweis "mit Konvergenzradiusberechnung" schaust, wirst Du sehen, dass diese Reihe sicherlich für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < r$ konvergiert und für alle [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] > r$ divergiert, wobei [mm] $r\,$ [/mm] der schon von Dir vorher berechnete Konvergenzradius ist, also [mm] $r=1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,.$
[/mm]
(Denn wie kam man nochmal auf die Berechnung des Konvergenzradius? Naja, ganz simpel: Man hat das WK angewendet!)
Alternativ kannst Du Dir das auch so herleiten:
Setze [mm] $\tilde{z}:=z-z_0\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$\sum_{n=10}^\infty a_n (z-z_0)^n \equiv \sum_{n=10}^\infty a_n \tilde{z}^n\,.$$
[/mm]
Die letzte Reihe hat in [mm] $\tilde{z}$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $r=1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,.$ [/mm] Daher konvergiert sie sicher für [mm] $\tilde{z}$ [/mm] mit [mm] $|\tilde{z}| [/mm] < [mm] r\,,$ [/mm] und sie divergiert sicher für alle [mm] $\tilde{z}$ [/mm] mit [mm] $|\tilde{z}| [/mm] > [mm] r\,.$ [/mm] Einsetzen von [mm] $\tilde{z}=z-z_0$ [/mm] liefert dann eben genau die obige Aussage. (Beachte: [mm] $z_0$ [/mm] ist fest!!)
Beachte auch: "Auf dem Rand des 'Konvergenzkreises' (damit meine ich den Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] mit dem Radius Konvergenzradius) kann man bei Potenzreihen i.a. - ohne spezielle Untersuchung - keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe treffen!"
Gruß,
Marcel
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also spontan ohne Rechnung würd ich sagen, dass bei z = 1 keine Aussage getroffen werden kann oder? nach dem normalen Quotientenkriterium würd (denke ich) auch 1 rauskommen, wo man keine aussage treffen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Fr 10.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> also spontan ohne Rechnung würd ich sagen, dass bei z = 1
> keine Aussage getroffen werden kann oder? nach dem normalen
> Quotientenkriterium würd (denke ich) auch 1 rauskommen, wo
> man keine aussage treffen kann.
Wir hatten die Potenzreihe
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n^3+4} [/mm] $
Die hat den Konvergenzradius 1. Sie konv. also absolut für |z|<1 und sie divergiert für |z| > 1.
Sei nun |z|=1. Dann ist
$ | [mm] \bruch{z^n}{n^3+4}|= \bruch{1}{n^3+4}$
[/mm]
Klingelts ?
FRED
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du sagst, dass sie divergiert für |z| [mm] \ge [/mm] 1 divergiert, aber ich dachte für = 1 muss man separat untersuchen. Naja in dem Fall kommt wenn ich
[mm] \bruch{1}{n^3+4} [/mm] ins Q-Kriterium reinhaue, ja 1 raus. Und nachdem Kriterium ist doch keine Aussage möglich oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 10.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> du sagst, dass sie divergiert für |z| [mm]\ge[/mm] 1 divergiert,
upps, da hab ich mich vertippt ! Dvergenz für |z|>1
> aber ich dachte für = 1 muss man separat untersuchen. Naja
> in dem Fall kommt wenn ich
> [mm]\bruch{1}{n^3+4}[/mm] ins Q-Kriterium reinhaue, ja 1 raus. Und
> nachdem Kriterium ist doch keine Aussage möglich oder?
Kennst Du noch andere Kriterien, die Du "reinhauen" kannst ?
Ist Dir bekannt, wie man "Majorantenkriterium " schreibt ?
[mm]\bruch{1}{n^3+4}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]\bruch{1}{n^3}[/mm]
FRED
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ahh^^^
Ja das Minoranten- und Majorantenkriterium meid ich grundsätzlich^^ Da kann man sich blöd verschätzen z.b. mit der harmonischen Reihe.^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Fr 10.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ahh^^^
>
> Ja das Minoranten- und Majorantenkriterium meid ich
> grundsätzlich^^
Das ist aber keine gute Idee
FRED
> Da kann man sich blöd verschätzen z.b.
> mit der harmonischen Reihe.^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ahh^^^
>
> Ja das Minoranten- und Majorantenkriterium meid ich
> grundsätzlich^^
ich stimme Fred zu: Das ist so ziemlich eine der schlechtesten Ideen, die es gibt. Wo das Kriterium doch - gerade, weil es "nur" Abschätzungen braucht - quasi eines der Handwerkszeuge schlechthin ist. Es ist sinnvoller, dass Du dann nochmal den Umgang mit Ungleichungen übst bzw. abschätzen lernst!
> Da kann man sich blöd verschätzen z.b.
> mit der harmonischen Reihe.^^
Kapier' ich nicht. Meinst Du sowas:
[mm] $$\sum 1/n^2 \le \sum 1/n=\infty\,,$$
[/mm]
was einem dann nicht's bringt? Naja, es zeigt einem zumindest, dass man "feiner" abschätzen muss!
Gruß,
Marcel
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ja genau sowas meine ich marcel^^
naja das problem ist, nach der Abschätzung muss ich nach meinen Korrekteuren der übungsblätter auch nochmal zeigen dass die Majorante konvergiert / Minorante divergiert, also ist es nicht weniger Arbeit ;)^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> ja genau sowas meine ich marcel^^
>
> naja das problem ist, nach der Abschätzung muss ich nach
> meinen Korrekteuren der übungsblätter auch nochmal zeigen
> dass die Majorante konvergiert / Minorante divergiert, also
> ist es nicht weniger Arbeit ;)^^
das kommt auf die Majorante/Minorante an. Natürlich darfst Du auch mal sowas schreiben:
[mm] $$\sum [/mm] ... [mm] \le \sum 1/n^{3/2}$$
[/mm]
und [mm] $\sum 1/n^{3/2}$ [/mm] konvergiert, da bekanntlich [mm] $\sum 1/n^\alpha$ [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ konvergiert (Stichwort/Erinnerung für/an Beweis: Cauchyscher Verdichtungssatz).
Der Sinn des Majoranten/Minorantenkriterium ist es doch, die Konvergenz/DIvergenz mihilfe der einer bekannten Reihe zu erhalten (bzw. aus der Voraussetzung der im Satz vorgegebenen Gegebenheiten). Die Kunst ist es also eher, zu lernen, grob, aber evtl. dann dennoch fein genug abzuschätzen. Das solltest Du aber insbesondere auch durch Übung/Erfahrung lernen!
(Manchmal kann es schon so sein, dass man abschätzt und dann noch auf komplizierterem Weg zeigen muss, dass die Reihe, mit der man abgeschätzt hat, auch geeignet war. Aber das sollte nicht der Regelfall sein, wann man das Kriterium anwendet!)
Gruß,
Marcel
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