Konv. Satz von Weierstraß < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 So 10.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe hier einen Abschnitt einer Prüfung und da weiß ich nicht, warum die Lösung so ausschauen soll.
Es geht um den Konvergenzsatz von Weierstraß.
Es ist die Funktionenfolge [mm] [mm] f_n(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \sin [/mm] (nz ) [mm]gegeben, und man soll das über [mm] \mathbb C [/mm] betrachten.
Hier soll der Konverhenzsatz nicht greifen, weil der Sinus im Komplexen nicht beschränkt ist.
Bedeutet das , dass wir keine komplakte Teilmenge finden können, auf der die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert?
Und noch eine Bemerkung während der Prüfung war, dass der Prüfling behauptet hat, dass der Sinus nicht durch den negativen Imaginärteil geht, was falsch ist.
Daraufhin fragte der Prof , ob es eine ganze FUnktion mit
[mm] f( \mathbb C ) = \{ z \in \mathbb C \ | \ Im (z) > 0 \} [/mm] gibt? Die Antwort war nein, und die Erklärung dazu der Satz der Gebietstreue.
Warum ist das die Erklärung , wie wendet man dort den Satz an?
Vielen Dank !
Viele Grüße
Irmchen
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Wie man da mit der Gebietstreue geschickt argumentiert, sehe ich auf die Schnelle nicht. Ich würde es so machen:
Nimm eine Möbiustransformation [mm]g[/mm], die die obere Halbebene auf die Einheitskreisscheibe abbildet, zum Beispiel die Involution [mm]g[/mm] mit
[mm]g(z) = \frac{z - \operatorname{i}}{\operatorname{i}z - 1}[/mm]
Wäre nun [mm]f[/mm] eine ganze Funktion mit der oberen Halbebene als Bild, so wäre [mm]g \circ f[/mm] eine ganze Funktion mit der Einheitskreisscheibe als Bild. Solch eine Funktion kann es aber nach dem Satz von Liouville nicht geben.
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