Konv. Reihe im Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X,||\cdot||)$ [/mm] ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass Folgendes äquivalent ist:
[mm] i)$(X,||\cdot||)$ [/mm] ist ein Banachraum
ii) Jede absolut konvergente Reihe [mm] $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ [/mm] ist konvergent |
Laut Lösung geht: $i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii)$ folgendermaßen:
Sei [mm] $x_n [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^{n}a_i$ [/mm] so ist [mm] $x_n \in [/mm] X [mm] \quad \forall [/mm] n$
Wegen der vollständigkeit des Banachraums?
Außerdem ist [mm] $(x_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge wegen:
[mm] \begin{matrix}
(m \leq n):\quad ||x_n-x_m||&=& ||\sum_{i=1}^{n}a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i ||\\
\ & =& ||\sum_{i=m}^{n} a_i||\\
\ &\leq& \underbrace{\sum_{i=m}^{n}||a_i||}_{<\infty}\stackrel{m,n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0
\end{matrix}
[/mm]
Da $X$ ein Banachraum ist existiert [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n \in [/mm] X$, was zu zeigen war.
Hier verstehe ich nicht wieso das gegen 0 gehen soll... Kann mir jemand helfen?
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Hallo,
> Sei [mm](X,||\cdot||)[/mm] ein normierter Raum. Zeigen Sie, dass
> Folgendes äquivalent ist:
> i)[mm](X,||\cdot||)[/mm] ist ein Banachraum
> ii) Jede absolut konvergente Reihe [mm]\sum_{i=1}^{\infty}a_i[/mm]
> ist konvergent
> Laut Lösung geht: [mm]i) \Rightarrow ii)[/mm] folgendermaßen:
>
> Sei [mm]x_n := \sum_{i=1}^{n}a_i[/mm] so ist [mm]x_n \in X \quad \forall n[/mm]
>
> Wegen der vollständigkeit des Banachraums?
Na jeder Banachraum ist ja ein Vektorraum. Was weißt du über endliche Summen von Elementen aus einem Vektorraum?
>
> Außerdem ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy-Folge wegen:
>
> [mm]\begin{matrix}
(m \leq n):\quad ||x_n-x_m||&=& ||\sum_{i=1}^{n}a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i ||\\
\ & =& ||\sum_{i=m}^{n} a_i||\\
\ &\leq& \underbrace{\sum_{i=m}^{n}||a_i||}_{<\infty}\stackrel{m,n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0
\end{matrix}[/mm]
>
> Da [mm]X[/mm] ein Banachraum ist existiert [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}x_n \in X[/mm],
> was zu zeigen war.
> Hier verstehe ich nicht wieso das gegen 0 gehen soll...
> Kann mir jemand helfen?
Hier geht ein, dass die Folge [mm] $x_{n}:=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{j}$ [/mm] absolut konvergieren soll. Was bedeutet das für die Folge [mm] $y_{n}:=\sum\limits_{j=1}^{n} \left|\left|a_{j}\right|\right|$ [/mm] (Stichwort: konvergente Folge- Cauchy-Folge)
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
Da bei
[mm] $\sum_{i=m}^{n} ||a_i|| [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} ||a_i|| -\sum_{i=1}^{m} ||a_i|| [/mm] $
beide Teile gegen den gleichen Grenzwert gehen?
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Hallo,
du weißt doch sicher, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.
Wenn also die Folge [mm] $y_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n}\left|\left|a_{j}\right|\right|$ [/mm] konvergiert, dann ....
Jetzt mach du weiter. Schau dir auch noch mal die Definition einer Cauchyfolge an.
Dann wirst du schnell sehen, wieso [mm] $\sum\limits_{j=m}^{n}\left|\left|a_{j}\right|\right|\stackrel{m,n \rightarrow \infty}{\rightarrow} [/mm] 0$ gilt.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:34 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
Wenn also die Folge [mm] $y_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n}\left|\left|a_{j}\right|\right|$ [/mm] konvergiert, dann ....
Existiert zu jedem Epsilon ein Index $n_|epsilon|$ so dass der "Abstand" aller Folgenglieder deren Indexe größer sind kleiner als dieses Epsilon ist. Wenn ich also m und n gegen unendlich laufen lasse, kann ich [mm] $n_\epsilon$ [/mm] beliebig groß werden lassen und somit Epsilon beliebig klein.
Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 23.06.2012 | | Autor: | Infty |
Wegen dem Verständnis nochmal:
Ich habe einen Banachraum und will zeigen dass dies gleichbedeutend ist damit dass alle absolut konvergenten Folgen in dem Raum auch konvergente Folgen sind.
Also nehme ich diesen Banachraum und definiere mir eine solche absolut konvergente Folge in diesem Raum.
Jetzt muss ich also noch zeigen dass diese Folge dann ebenso eine Cauchyfolge ist und somit konvergent.
Dafür zeige ich dann dass:
[mm] $||x_n-x_m||$ [/mm] für [mm] $m,n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen 0 geht.
Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz fließt dann
bei [mm] $\underbrace{\sum_{i=m}^{n}||a_i||}_{<\infty}\stackrel{m,n \rightarrow \infty}{\rightarrow} [/mm] 0 $
mit ein da ich sonst Probleme bei der Abschätzung hätte falls [mm] $\infty$ [/mm] möglich wäre...
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> Wegen dem Verständnis nochmal:
>
> Ich habe einen Banachraum und will zeigen dass dies
> gleichbedeutend ist damit dass alle absolut konvergenten
> Folgen in dem Raum auch konvergente Folgen sind.
>
> Also nehme ich diesen Banachraum und definiere mir eine
> solche absolut konvergente Folge in diesem Raum.
>
Nein du definierst dir keine Absolut konvergente Folge, du nimmst die wahrlos ein absolut konvergente Reihe [mm] $\sum\limits_{j=1}^{\infty}a_{j}$ [/mm] und willst zeigen, dass diese Reihe in einem Banachraum auch im normalen Sinne konvergiert.
Dazu definierst du dir die Folge [mm] $x_{n}:= $\sum\limits_{j=1}^{n}a_{j}$
[/mm]
Jetzt musst du zeigen, dass [mm] $x_{n}$ [/mm] eine Cauchyfolge ist.
> Jetzt muss ich also noch zeigen dass diese Folge dann
> ebenso eine Cauchyfolge ist und somit konvergent.
>
> Dafür zeige ich dann dass:
> [mm]||x_n-x_m||[/mm] für [mm]m,n\rightarrow \infty[/mm] gegen 0 geht.
>
> Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz fließt dann
> bei
> [mm]\underbrace{\sum_{i=m}^{n}||a_i||}_{<\infty}\stackrel{m,n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0[/mm]
>
Warum das gegen 0 konvergiert, haben wir aber immer noch nicht so richtig rausbekommen!!
> mit ein da ich sonst Probleme bei der Abschätzung hätte
> falls [mm]\infty[/mm] möglich wäre...
Das [mm] $\sum\limits_{j=m}^{n}||a_{j}||$ [/mm] endlich ist, folgt ja sofort aus der Absoluten Konvergenz der Reihe [mm] $\sum\limits_{j=0}^{\infty}||a_{j}||$ [/mm] und
[mm] $\sum\limits_{j=m}^{n}||a_{j}||\leq \sum\limits_{j=0}^{\infty}||a_{j}||<\infty$. [/mm]
Wir wollen aber zeigen, dass
[mm] $\sum\limits_{j=m}^{n}||a_{j}||\stackrel{m,n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$
Dafür steht ein Begründung noch aus
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 25.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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