Kontraktionszahl 1/2(x+x/3) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wir betrachten die Funtkion f(x)= 1/2 (x +3/x). Zeigen Sie unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes, daß die zugehörige Fixpunktiteration [mm] x_{n+1}=f(x_{n} [/mm] für n= 0,1,... für alle [mm] x_{0} \in [/mm] ( 0, [mm] \infty [/mm] ) gegen [mm] \wurzel{3} [/mm] konvergiert. Berechnen Sie anschliessen unter Ausnutzung der a posteriori Abschätzung aus dem Banachschen Fixpunktsatz eine Näherung für y für [mm] \wurzel{3} [/mm] mit |y- [mm] \wurzel{3}| [/mm] < [mm] 10^{-4} [/mm] . Vergleichen Sie die Anzahl der Iterationen mit der Anzahl, die man nach der a priori Abschätzung des Banachschen Fixpunktsatzes erwarten würde. |
Hi,
Ich seh dabei überhaupt nicht durch:
Ich würde behaupten, da für x= 100 und y = 0.01 gilt:
||1/2(x+3/x) - 1/2(y+3/y)|| = ||0.5(90+0.03)-0.5(0.01+300)||=||45,015-150.05 ||=||-110 . 035|| [mm] \le [/mm] q||99.99||, kann für q [mm] \not\in [/mm] [0,1) sein.
Ich steh schon seit Tagen auf dem Schlauch. In der Übung hat er behauptet, Man müsse das Intervall von [mm] x_{0} [/mm] aufteilen. Das ist mir klar, da ja nicht jede Folge in (0, [mm] \infty [/mm] ) eine Cauchyfolge ist... hm hatte eigentlich an konvergente Folgen gedacht, trotzdem:
Die Zahlen die ich hier als Beispiel genannt habe, sind und bleiben ja trotzdem in dem Intervall.
Hinauslaufen denke ich wird es darauf zu zeigen, dass der Operator kontrahierend ist, um so gegen das eindeutige Element [mm] \wurzel{3} [/mm] zu konvergieren.
Bitte, ich hätte echt gerne Hilfe dafür.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> Hinauslaufen denke ich wird es darauf zu zeigen, dass der
> Operator kontrahierend ist, um so gegen das eindeutige
> Element [mm]\wurzel{3}[/mm] zu konvergieren.
Da hast Du schon recht. Aber [mm] $f(x)=\frac [/mm] 1 2 [mm] \left(x + \frac 3 x\right)$ [/mm] ist nicht auf ganz [mm] $(0;\infty)$ [/mm] kontrahierend. Es ist aber
$f(x) [mm] \ge \sqrt [/mm] 3$ für alle [mm] $x\in [/mm] (0; [mm] \infty)$
[/mm]
und $f$ ist auf [mm] $[\sqrt [/mm] 3; [mm] \infty)$ [/mm] Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten 1/2.
Grüße,
Wolfgang
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> Ich steh schon seit Tagen auf dem Schlauch. In der Übung
> hat er behauptet, man müsse das Intervall von [mm]x_{0}[/mm]
> aufteilen.
Na ja, was Schläuche halt so behaupten ... (insbesondere,
wenn man auf sie steht oder auf ihnen herumtrampelt)
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