Konstruktion d. Tensorprodukts < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V,W,K-Vektoräume. E sei ein K-Vektorraum mit Basis [mm] \{b_{(v,w)}\}_{v\in V,w\in W} [/mm] (für jedes Paar von Vektoren [mm] (v,w)\in V\times [/mm] W gibt es also ein Basiselement [mm] b_{(v,w)}). [/mm] Wir betrachten Linearkombinationenen der Form [mm] (v,v_{1},v_{2}\in [/mm] V, [mm] w,w_{1},w_{2}\in W,\lambda \in [/mm] K)
(1) [mm] b_{(v_{1}+v_{2},w)}-b_{(v_{1},w)}-b_{(v_{2},w)}
[/mm]
(2) [mm] b_{(v,w_{1}+w_{2})}-b_{(v_{1},w)}-b_{(v_{2},w)}
[/mm]
(3) [mm] b_{(\lambda v,w)}-b_{\lambda(v,w)}
[/mm]
(4) [mm] b_{(v,\lambda w)}-b_{\lambda(v,w)}
[/mm]
und definieren U als denjenigen Unterraum von E, der von allen Linearkombinationen der Form (1)-(4) aufgespannt wird. Sei [mm] \sim [/mm] die folgende Äquivalenzrelation auf E: [mm] e\sim e':\gdw e-e'\in [/mm] U [mm] (e,e'\in [/mm] E). Für [mm] v\in [/mm] V
und [mm] w\in [/mm] W sei [mm] v\otimes [/mm] w die Äquivalenzklasse des Basisvektors [mm] b_{v,w} [/mm] bzgl der Relation [mm] \sim, [/mm] d.h.
[mm] v\otimes w:=[b_{(v,w)}]
[/mm]
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Definition die Gültigkeit der folgenden Gleichung in E/U [mm] (v,v_{1},v_{2}\in V,w,w_{1},w_{2}\in W,\lambda \in [/mm] K):
i) [mm] (v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes [/mm] w
ii) [mm] v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}
[/mm]
iii) [mm] (\lambda v)\otimes w=\lambda(v\otimes w)=v\otimes (\lambda [/mm] w)
Bemerkung: Das Tensorprodukt [mm] V\otimes [/mm] W wird hier als Quotientenraum E/U konstruiert. |
Hallo,
Ich muss doch irgendwie zeigen, dass
i) [mm] b_{(v_{1}+v{2},w)}=b_{(v_{1},w)}+b_{(v_{2},w)}
[/mm]
oder nicht?
Als erstes wollt ich dann den linken Ausdruck als Linearkombination von(1)-(4) ausdrücken, aber das geht ja gar nicht.
Und wo kommt der Quotientenraum ins Spiel? Das ist doch eigentlich: [mm] E/U:=\{e+U:e\in E\}. [/mm] oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 So 28.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
du willst doch zeigen, dass [mm] $(v_1 [/mm] + [mm] v_2) \otimes [/mm] w = [mm] v_1 \otimes [/mm] w + [mm] v_2 \otimes [/mm] w$, dass heißt per definition [mm] $[b_{(v_{1}+v_{2},w)}]=[b_{(v_{1},w)}+b_{(v_{2},w)}]$, [/mm] also [mm] $b_{(v_{1}+v_{2},w)} \sim b_{(v_{1},w)}+b_{(v_{2},w)}$. [/mm] und nun schau dir mal an, wie die äquivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] definiert ist...
grüße
andreas
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> du willst doch zeigen, dass [mm](v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w[/mm],
> dass heißt per definition
> [mm][b_{(v_{1}+v_{2},w)}]=[b_{(v_{1},w)}+b_{(v_{2},w)}][/mm], also
> [mm]b_{(v_{1}+v_{2},w)} \sim b_{(v_{1},w)}+b_{(v_{2},w)}[/mm]. und
> nun schau dir mal an, wie die äquivalenzrelation [mm]\sim[/mm]
> definiert ist...
also dann komme ich darauf, dass
[mm] b_{(v_{1}+v_{2},w)} [/mm] - [mm] b_{(v_{1},w)} [/mm] - [mm] b_{(v_{2},w)} \in [/mm] E(???) sein muss, und weil das genau das Basiselement (1) ist, bin ich fertig.
Aber habe ich dann überhapt alle Vorgaben ausgenutzt? Das scheint mir etwas zu einfach.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 28.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
> also dann komme ich darauf, dass
> [mm]b_{(v_{1}+v_{2},w)}[/mm] - [mm]b_{(v_{1},w)}[/mm] - [mm]b_{(v_{2},w)} \in[/mm]
> E(???) sein muss, und weil das genau das Basiselement (1)
> ist, bin ich fertig.
das muss natürlich [mm] $\in [/mm] U$ heißen! aber ansonsten stimmt das schon.
> Aber habe ich dann überhapt alle Vorgaben ausgenutzt?
was hast du denn nicht ausgenutzt, was du aunutzen willst?
grüße
andreas
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vielen dank
> > Aber habe ich dann überhapt alle Vorgaben ausgenutzt?
>
> was hast du denn nicht ausgenutzt, was du ausnutzen willst?
das was in der Bemerkung steht: Das Tensorprodukt wird als Quotientenraum E/U konstruiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 28.06.2009 | | Autor: | andreas |
hi
doch das wurde im letzten schritt verwendet: eine restklasse ist gerade dann null in dem quotienten, wenn ein repräsentant in dem "herausgeteilten" raum $U$ liegt.
grüße
andreas
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ahcso, jezt hab ichs glaube auch verstanden, vielen Dank
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