Konstruktion äußerer Maße < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:55 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Mija |
Ich habe hier vor mir zwei verschiedene Skripte zweier Profs liegen.
Der eine behauptet, dass der Hahnsche Fortsetzungssatz die Erweiterung eines Prämaßraumes auf die minimale Fortsetzung zu einem Maßraum gibt; der andere sagt allerdings dass die Erweiterung aus dem äußeren Maß folgt.
Was ist denn nun richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Mija |
Kann mir denn niemand weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 02.05.2011 | | Autor: | gfm |
> Ich habe hier vor mir zwei verschiedene Skripte zweier
> Profs liegen.
> Der eine behauptet, dass der Hahnsche Fortsetzungssatz die
> Erweiterung eines Prämaßraumes auf die minimale
> Fortsetzung zu einem Maßraum gibt; der andere sagt
> allerdings dass die Erweiterung aus dem äußeren Maß
> folgt.
>
> Was ist denn nun richtig?
Es gilt:
1) Ist [mm] \mu^\*:2^X\to[0,\infty] [/mm] irgendein beliebiges äußeres Maß und [mm] \mathcal{A}_{\mu^\*} [/mm] seine Sigmaalgebra meßbarer Mengen (nach Caratheordory), dann ist [mm] (X,\mathcal{A}_{\mu^\*},\mu^\*|_{\mathcal{A}_{\mu^\*}}) [/mm] ein (vollständiger) Maßraum.
2) Wenn [mm] \mu:\mathcal{R}\to[0,\infty] [/mm] ein Inhalt auf einem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] über der Menge X ist, dann definiert
[mm] \mu^\*(E):=\inf\{\summe\mu(A_n):E\subset\cup A_n;A_n\in\mathcal{R}\}
[/mm]
ein äußeres Maß auf [mm] 2^X [/mm] (das von [mm] \mu [/mm] erzeugte) mit [mm] \mathcal{R}\subset\mathcal{A}_{\mu^\*} [/mm] und zusätzlich [mm] \mu=\mu^\*|_\mathcal{R}, [/mm] falls [mm] \mu [/mm] ein [mm] $\sigma$-Inhalt [/mm] ist.
3) Es gilt [mm] \mathcal{R}\subset\sigma(\mathcal{R})\subset\mathcal{A}_{\mu^\*}
[/mm]
4) Im Falle eines Prämaßraums [mm] (X,\mathcal{R},\mu) [/mm] ist also [mm] (X,\sigma(\mathcal{R}),\mu^\*|_{\sigma(\mathcal{R})}) [/mm] eine kleinste Fortsetzung (im Sinne der Fortsetzung auf die kleinste Sigmaalgebra, die den Ring enthält).
5) Der Hahnsche Fortsetzungssatz klärt darüber hinaus die Eindeutigkeit: Sei [mm] \mu [/mm] ein [mm] $\sigma$-endlicher $\sigma$-Inhalt [/mm] auf einem Ring. Dann existiert genau ein [mm] ($\sigma$-endliches) [/mm] Maß, welches [mm] \mu [/mm] auf [mm] $\sigma(\mathcal{R})$ [/mm] fortsetzt.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 07.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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