Konstruierbare Zahlen Beweis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Di 15.11.2011 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | | Seien a und b zwei konstruierbare Zahlen. Zeige, dass auch a+b, a+b, a*b und a/b konstruierbar sind. |
Hallo,
ich muss demnächst einen Vortrag zum Thema konstruierbare Zahlen halten. Jetzt stehe ich vor dem ersten Problem, diesem Beweis.
Kann mir jemand da helfen? Ich suche wohl eher einen geometrischen Beweis, da es in den vorherigen Kapiteln auch um Konstruktionen mit Lineal und Zirkel ging.
Was ich nicht so ganz genau verstehe ist, wie ich a*b und a/b beweisen kann. Ich hatte im Internet einen Ansatz gefunden, in dem dies an einem Dreieck gezeigt werden sollte, aber so richtig klar wurde mir das leider auch da nicht :(
Danke schonmal!
Elfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Elfe!
> Seien a und b zwei konstruierbare Zahlen. Zeige, dass auch
> a+b, a+b, a*b und a/b konstruierbar sind.
> Hallo,
>
> ich muss demnächst einen Vortrag zum Thema konstruierbare
> Zahlen halten. Jetzt stehe ich vor dem ersten Problem,
> diesem Beweis.
> Kann mir jemand da helfen? Ich suche wohl eher einen
> geometrischen Beweis, da es in den vorherigen Kapiteln auch
> um Konstruktionen mit Lineal und Zirkel ging.
> Was ich nicht so ganz genau verstehe ist, wie ich a*b und
> a/b beweisen kann. Ich hatte im Internet einen Ansatz
> gefunden, in dem dies an einem Dreieck gezeigt werden
> sollte, aber so richtig klar wurde mir das leider auch da
> nicht :(
Also $a [mm] \cdot [/mm] b = [mm] \frac{a}{\frac{1}{b}}$; [/mm] es reicht also aus, wenn du $a/b$ konstruieren kannst.
Und um $a/b$ zu konstruieren betrachte den ![[]](/images/popup.gif) Strahlensatz. Erstmal betrachte $a, b [mm] \in \IR$. [/mm] Du willst dann ja ein $x$ haben, wobei [mm] $\frac{x}{1} [/mm] = [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] ist. Also bastel dir eine Konstruktion a la Strahlensatz, wo du die Seitenlaengen $a$, $b$, $1$ und $x$ hast.
Fuer beliebige $a, b [mm] \in \IC$ [/mm] musst du dann etwas mehr arbeiten, kannst aber $|a|, |b| [mm] \in \IR$ [/mm] benutzen.
LG Felix
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