Konstante, wenn DGL gilt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | Man beweise: Wenn die Funktion $ y : [mm] [t_0 [/mm] , [mm] t_1 [/mm] ] [mm] \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$
[/mm]
die Differentialgleichung [mm] $y^{''}= [/mm] - [mm] \gamma [/mm] M [mm] y^{-2}$ [/mm] (Beschleunigung eines Körpers) erfüllt, ist
[mm] $(y^{'})^{2} -\frac{2\gamma M }{y}$ [/mm] eine Konstante. Können Sie daraus ein systematisches Lösungsverfahren ableiten? (Wobei M die Erdmasse und [mm] $\gamma$ [/mm] die Gravitationskonstante ist) |
Hallo,
ich habe oben die Aufgabe und soll zeigen, dass der Ausdruck eine Konstante gibt. Wir haben die DGL in der Vorlesung als Beispiel gehabt.
Jetzt frag ich mich, wie ich das genau angehen soll. Ich habe mit meinen Kommilitonen gesprochen und die meinten, man könne das behandeln, wie eine DGL und lösen, das fand ich aber nicht ganz einleuchtend, weil dann müsste ich ja was von der Form Ableitung = ... hinbasteln, und das kann ich hier nicht erkennen.
Hättet ihr da einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Fr 15.01.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
multipliziere die Dgl mit [mm] y'\not= [/mm] 0
dann steht links 1/2*(y'^2)' [mm] rechts_M*\gamma [/mm] *(1/y)'
das integrieren!
Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Sa 16.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Setze
$z(x):= [mm] (y'(x))^{2} -\frac{2\gamma M }{y(x)} [/mm] $
und leite z ab. lite z ab. Dann solltest Du sehen: wegen $ y''= - [mm] \gamma [/mm] M [mm] y^{-2} [/mm] $ ist z'(x)=0 für jedes x.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:06 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
das habe ich hinbekommen und auch gesehen, dass es 0 wird.
Was meinen die mit einem allgemeinen Lösungsverfahren? Soll ich was angeben, um auf das y zu kommen?
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:42 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich habe jetzt mal, da ich die Frage nebulös finde meinen Gedanken weitergesponnen.
Ich würde dann [mm] $(y^{'}(x))^2-\frac{2\gamma M}{y(x)}=c$ [/mm] betrachten und zu
[mm] $y^{'}=\pm \sqrt{c+\frac{2\gamma M}{y(x)}}$ [/mm] kommen. Nun aber mal abgesehen, davon, dass ich mir nicht wirklich sicher bin, ob die Wurzel definiert ist, macht das Sinn?
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 18.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 19.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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