Konsistenzordnung Eulerverf. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 18.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das verbesserte Eulerverfahren die Konsistenzordnung 2 besitzt, falls f 2x und y 3x stetig diff.bar sind. |
Hallo,
mit diesem Thema tue ich mich leider sehr schwer.
Mein Ansatz ist folgender:
Die Verfahrensfunktion lautet [mm] \Phi(t,u,\tau)=f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))[/mm]
Die Taylorentwicklung ist
[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
Die Ableitungen der Verfahrensfunktion lauten
[mm]\Phi'=f_t(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+f_y(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)[/mm]
[mm]\Phi''=f_{tt}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+2f_{ty} (t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)+f_{yy}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))(f(t,u))^2[/mm]
Stimmt das ?
Jetzt muss ich irgend etwas machen für [mm]\tau=0[/mm], aber dieses komplette Verfahren verstehe ich leider nicht.
Kann mir das bitte jemand erklären ?
Danke im Voraus,
Susanne
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Hallo SusanneK,
> Zeigen Sie, dass das verbesserte Eulerverfahren die
> Konsistenzordnung 2 besitzt, falls f 2x und y 3x stetig
> diff.bar sind.
> Hallo,
> mit diesem Thema tue ich mich leider sehr schwer.
> Mein Ansatz ist folgender:
> Die Verfahrensfunktion lautet
> [mm]\Phi(t,u,\tau)=f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))[/mm]
>
> Die Taylorentwicklung ist
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
>
Führe die Ableitungen noch genauer aus.
Ausgehend von der Gleichung
[mm]y'\left(t\right)=f\left( \ t, \ y\left(t\right) \ \right)[/mm]
kannst Du diese Ableitungen bestimmen.
> Die Ableitungen der Verfahrensfunktion lauten
> [mm]\Phi'=f_t(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+f_y(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)[/mm]
>
> [mm]\Phi''=f_{tt}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+2f_{ty} (t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)+f_{yy}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))(f(t,u))^2[/mm]
>
> Stimmt das ?
>
Leider nein.
Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
in eine Taylorreihe zu entwickeln.
> Jetzt muss ich irgend etwas machen für [mm]\tau=0[/mm], aber dieses
> komplette Verfahren verstehe ich leider nicht.
> Kann mir das bitte jemand erklären ?
>
> Danke im Voraus,
> Susanne
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 18.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
vielen Dank für Deine Antwort !
> Die Taylorentwicklung ist
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
>
Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
So ?
Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss, weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
>
> Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
> in eine Taylorreihe zu entwickeln.
Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist, vielleicht verstehe ich es dann ?
LG und danke, Susanne
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Hallo SusanneK,
> Hallo MathePower,
> vielen Dank für Deine Antwort !
>
> > Die Taylorentwicklung ist
> > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> >
>
>
> Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>
> So ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,
> weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
>
Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
die 3. Ableitung nicht.
> >
> > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
> > in eine Taylorreihe zu entwickeln.
>
> Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
> Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> vielleicht verstehe ich es dann ?
>
[mm] f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ... [/mm]
> LG und danke, Susanne
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 18.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
> >
> > > Die Taylorentwicklung ist
> > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
> > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>
> >
> > So ?
>
>
> Ja.
>
Danke !
>
> > Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,
> > weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> > [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
> >
>
>
> Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
> die 3. Ableitung nicht.
>
>
> > >
> > > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
> > > in eine Taylorreihe zu entwickeln.
> >
> > Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
> > Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> > vielleicht verstehe ich es dann ?
> >
>
> [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>
Dann probiere ich mal weiter
...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird partiell abgeleitet usw.
So ?
[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine Taylorentwicklungsformel - oder ?
Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der Verfahrensfunktion durchführen.
So ?
Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
In meinem Skript steht
[mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
mit Konsistenzordnung p.
Also
[mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau[f+\frac{\tau}{2}f_t+\frac{\tau}{2}f_uf+\frac{\tau^2}{8}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)][/mm]
So ?
LG und danke, Susanne
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Hallo SusanneK,
> > >
> > > > Die Taylorentwicklung ist
> > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
> > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>
> >
> > >
> > > So ?
> >
> >
> > Ja.
> >
>
> Danke !
>
> >
> > > Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,
> > > weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> > > [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
> > >
> >
> >
> > Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
> > die 3. Ableitung nicht.
> >
> >
> > > >
> > > > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
> > > > in eine Taylorreihe zu entwickeln.
> > >
> > > Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
> > > Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> > > vielleicht verstehe ich es dann ?
> > >
> >
> > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>
> >
>
> Dann probiere ich mal weiter
>
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
>
Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:
[mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) [/mm]
[mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>
> Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> partiell abgeleitet usw.
> So ?
>
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> Taylorentwicklungsformel - oder ?
Ja.
> Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> Verfahrensfunktion durchführen.
> So ?
>
> Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
> In meinem Skript steht
> [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>
Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
> mit Konsistenzordnung p.
>
> Also
>
> [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau[f+\frac{\tau}{2}f_t+\frac{\tau}{2}f_uf+\frac{\tau^2}{8}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)][/mm]
> So ?
>
> LG und danke, Susanne
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mo 19.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
zuerst einmal vielen Dank für Deine Geduld und Deine Hilfe !
> > > >
> > > > > Die Taylorentwicklung ist
> > > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
> > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > So ?
> > >
> > >
> > > Ja.
> > >
> >
> > Danke !
> >
> > >
> > > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Dann probiere ich mal weiter
> >
> >
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
> >
>
>
> Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:
>
> [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right)[/mm]
>
> [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>
>
Warum wird hier bei der Ableitung von [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die Produktregel angewandt ?
Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung auch gemacht - oder ?
>
>
> >
> > Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> > hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> > partiell abgeleitet usw.
> > So ?
> >
> > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> > Taylorentwicklungsformel - oder ?
>
>
> Ja.
>
Danke !
>
> > Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> > Verfahrensfunktion durchführen.
> > So ?
> >
> > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
> > In meinem Skript steht
> > [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>
> >
>
>
> Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
>
[mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
[mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
So ?
LG und danke, Susanne
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Hallo SusanneK,
> Hallo MathePower,
> zuerst einmal vielen Dank für Deine Geduld und Deine
> Hilfe !
>
>
> > > > >
> > > > > > Die Taylorentwicklung ist
> > > > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
> > > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > So ?
> > > >
> > > >
> > > > Ja.
> > > >
> > >
> > > Danke !
> > >
>
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> > > >
> > > > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Dann probiere ich mal weiter
> > >
> > >
> >
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
> > >
> >
> >
> > Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:
> >
> > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right)[/mm]
>
> >
> > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>
> >
> >
>
> Warum wird hier bei der Ableitung von
> [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> Produktregel angewandt ?
Bei der Verfahrensfunktion bestehen
keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.
> Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung
> auch gemacht - oder ?
>
Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine Taylorreihe
bestehen Abhängigkeiten zwischen u und t bzw. y und t.
>
> >
> >
> > >
> > > Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> > > hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> > > partiell abgeleitet usw.
> > > So ?
> > >
> > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> > > Taylorentwicklungsformel - oder ?
> >
> >
> > Ja.
> >
>
> Danke !
>
> >
> > > Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> > > Verfahrensfunktion durchführen.
> > > So ?
> > >
> > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
> > > In meinem Skript steht
> > > [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
> >
>
> [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>
> [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>
> So ?
Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm].
>
> LG und danke, Susanne
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 20.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
> > >
> > > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Warum wird hier bei der Ableitung von
> > [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> > Produktregel angewandt ?
>
>
> Bei der Verfahrensfunktion bestehen
> keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.
Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du damit, dass wenn sich t verändert, dass das keine Auswirkung auf u hat ?
Und wenn ich [mm]f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nach t ableite, dann ist hier [mm]f(t,u)[/mm] eine Konstante ?
>
> > Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung
> > auch gemacht - oder ?
> >
>
>
> Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine
> Taylorreihe
> bestehen Abhängigkeiten zwischen u und t bzw. y und t.
>
>
> >
> > > > Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> > > > Verfahrensfunktion durchführen.
> > > > So ?
> > > >
> > > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
> > > > In meinem Skript steht
> > > >
> [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
> > >
> > > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
> > >
> >
> > [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>
> >
> > [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>
> >
> > So ?
>
>
> Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm].
>
Bedeutet das, dass alle Summanden, die [mm]\tau^3[/mm] als Faktor beinhalten, und [mm]O(\tau^4)[/mm] zu [mm]O(\tau^3)[/mm] zusammengefasst werden ?
Ist das so, weil in der Vorgabe stand, dass [mm]f[/mm] 2x stetig differenzierbar ist ?
Und wenn [mm]f[/mm] 3x stetig differenzierbar gewesen wäre, dann hätte man Konsistenzordnung 3 erhalten ?
LG und danke, Susanne
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Hallo SusanneK,
> Hallo MathePower,
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> > > >
> > > > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > Warum wird hier bei der Ableitung von
> > > [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> > > Produktregel angewandt ?
> >
> >
> > Bei der Verfahrensfunktion bestehen
> > keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.
>
> Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du damit, dass wenn
> sich t verändert, dass das keine Auswirkung auf u hat ?
> Und wenn ich [mm]f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nach t ableite, dann ist hier
> [mm]f(t,u)[/mm] eine Konstante ?
>
Bei der Verfahrensfunktion brauchst Du nichts abzuleiten.
Hier verwendest Du die Taylorreihe mit ihren vorgegebenen
partiellen Ableitungen.
>
> >
> > > Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung
> > > auch gemacht - oder ?
> > >
> >
> >
> > Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine
> > Taylorreihe
> > bestehen Abhängigkeiten zwischen u und t bzw. y und
> t.
> >
> >
> > >
> > > > > Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> > > > > Verfahrensfunktion durchführen.
> > > > > So ?
> > > > >
> > > > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
> > > > > In meinem Skript steht
> > > > >
> > [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>
> > > >
> > > > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
> > > >
> > >
> > > [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>
> >
> > >
> > > So ?
> >
> >
> > Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm].
> >
> Bedeutet das, dass alle Summanden, die [mm]\tau^3[/mm] als Faktor
> beinhalten, und [mm]O(\tau^4)[/mm] zu [mm]O(\tau^3)[/mm] zusammengefasst
> werden ?
Ja.
> Ist das so, weil in der Vorgabe stand, dass [mm]f[/mm] 2x stetig
> differenzierbar ist ?
Ja.
> Und wenn [mm]f[/mm] 3x stetig differenzierbar gewesen wäre, dann
> hätte man Konsistenzordnung 3 erhalten ?
>
So denn alle Glieder bis einschliesslich [mm]\tau^{3}[/mm] verschwinden.
> LG und danke, Susanne
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 21.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
dank Deiner tollen Hilfe wage ich mich jetzt mal an einige Aufgaben heran und hoffe, dass ich es dann kann.
Vielen, vielen Dank !!
LG, Susanne
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