Konjugierte in Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 13.01.2011 | | Autor: | Harris |
Hi! Ich habe eine Frage:
[mm] \alpha, \beta [/mm] seien algebraisch über [mm] \IQ.
[/mm]
[mm] \alpha=\alpha_1,...,\alpha_n [/mm] seien die Konjugierten (also Nullstellen des Minimalpolynoms) von [mm] \alpha.
[/mm]
[mm] \beta=\beta_1,...,\beta_m [/mm] seien die Konjugierten von [mm] \beta.
[/mm]
Für [mm] \IQ(\alpha,\beta) [/mm] sei [mm] \theta [/mm] das primitive Element, also [mm] \IQ(\alpha,\beta)=\IQ(\theta).
[/mm]
Nun hab ich ein Polynom [mm] p(x,y)\in\IZ[x,y] [/mm] k-ten Grades.
Gibt es irgendeinen Satz, der irgendetwas über
[mm] \produkt_{i=1}^{n}\produkt_{j=1}^{m} p(\alpha_i,\beta_j)
[/mm]
aussagt?
Ist dieses Produkt ein Polynom [mm] q(\theta) [/mm] mit dem Grad nmk?
Wäre super, wenn es hierzu irgendwas gäbe. Hier is ja nix mit dem Satz über elementarsymmetrische Funktionen anzufangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 13.01.2011 | | Autor: | Harris |
Sorry, hab mir nen Schmarrn zusammengereimt.
War echt ne dumme Frage. Einfach ignorieren! ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 13.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
auch wenn sich das schon fuer dich erledigt hat, hier etwas fuer die Allgemeinheit:
> [mm]\alpha, \beta[/mm] seien algebraisch über [mm]\IQ.[/mm]
> [mm]\alpha=\alpha_1,...,\alpha_n[/mm] seien die Konjugierten (also
> Nullstellen des Minimalpolynoms) von [mm]\alpha.[/mm]
> [mm]\beta=\beta_1,...,\beta_m[/mm] seien die Konjugierten von
> [mm]\beta.[/mm]
>
> Für [mm]\IQ(\alpha,\beta)[/mm] sei [mm]\theta[/mm] das primitive Element,
> also [mm]\IQ(\alpha,\beta)=\IQ(\theta).[/mm]
>
> Nun hab ich ein Polynom [mm]p(x,y)\in\IZ[x,y][/mm] k-ten Grades.
>
> Gibt es irgendeinen Satz, der irgendetwas über
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}\produkt_{j=1}^{m} p(\alpha_i,\beta_j)[/mm]
>
> aussagt?
Da wir mit [mm] $\IQ$ [/mm] einen perfekten Koerper haben sind die Minimalpolynome separabel. Also gilt mit ![[]](/images/popup.gif) dem hier, wenn [mm] $m_\alpha$ [/mm] und [mm] $m_\beta$ [/mm] die entsprechenden Minimalpolynome sind: [mm] $\prod_i \prod_j p(\alpha_i, \beta_j) [/mm] = [mm] \prod_i res(m_\beta(X), p(\alpha_i, [/mm] X)) = [mm] res(m_\alpha(T), [/mm] f(T))$, wobei $f(T) = [mm] res(m_\beta(X), [/mm] p(T, X)) [mm] \in \IQ[T]$ [/mm] ist.
Insbesondere ist das Resultat eine rationale Zahl.
Da die Resultante ein polynomieller Ausdruck ist, kann man das Produkt [mm] $\prod_i \prod_j p(\alpha_i, \alpha_j)$ [/mm] als polynomiellen Ausdruck in den Koeffizienten von [mm] $m_\alpha$ [/mm] und [mm] $m_\beta$ [/mm] auffassen.
> Ist dieses Produkt ein Polynom [mm]q(\theta)[/mm] mit dem Grad nmk?
Soll das Polynom nur von $n, m, p$ abhaengen? Oder darf es auch von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] abhaengen? In letzteren Fall hat es Grad 0 
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:15 Do 13.01.2011 | | Autor: | Harris |
Ne... mein eigentliches Problem ist:
Ich habe eine algebraische Zahl
[mm] \alpha(t,k)=\summe_{n=0}^{D_1-1}\summe_{m=0}^{D_2-1} a_{mn} P_{m,n,t}(\beta_1(k),\beta_2,\beta_3,\beta_4)
[/mm]
wobei [mm] a_{mn}\in\IZ [/mm] durch diese Überlegung zu suchen sind (mittels Lemma von Siegel), [mm] \beta_j [/mm] auch algebraisch, [mm] \beta_1 [/mm] hängt von k ab, [mm] \alpha [/mm] selbst hängt von t und k ab, das Polynom ist [mm] P_{m,n,t}\in\IZ[w,x,y,z], [/mm] wobei die Grade und Koeffizienten von P von den 3 Variablen m,n (über die summiert wird) und t abhängen. Hierfür sei t=1...T, k=1...K
Nun ist ja offensichtlich [mm] \alpha\in\IQ(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4)=\IQ(\theta) [/mm] mit [mm] \theta [/mm] primitivem Element vom Grad [mm] \delta.
[/mm]
Deswegen kann ich [mm] \alpha [/mm] ja auch als [mm] \summe_{i=0}^{\delta-1} b_i\theta^i [/mm] ausdrücken.
Problem: Nun soll ich irgendwie aus der Differenz der beiden Summen [mm] KT\delta [/mm] Gleichungen mit den [mm] D_1 D_2 [/mm] Unbekannten [mm] a_{mn} [/mm] machen, aber ich hab total Probleme, die 4 algebraischen Zahlen [mm] \beta_1...\beta_4 [/mm] zu [mm] \theta [/mm] zu verwandelt und gleichzeitig [mm] KT\delta [/mm] Gleichungen hinzukriegen, da es ja (weil [mm] \alpha [/mm] von t,k abhängt) nur KT Gleichungen wären.
Fürs Lemma von Siegel lässt sich dann Problemlos [mm] D_1D_2>KT\delta [/mm] wählen.
Hat irgendwer ne Idee? Ich kau da schon ewig rum :(
Wäre so geil :)
Edit: Hab was vergessen: [mm] \beta_1(k) [/mm] sind lediglich rationale Vielfache von der gleichen algebraischen Zahl, also insbesondere [mm] \IQ(\beta_1(i))=\IQ(\beta_1(j))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 22.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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