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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Do 18.11.2010 | | Autor: | Chessko |
| Aufgabe 1 | | Finde alle konjugierten Elemente zu einem gegebenem Element. (Beispielhaft zur Übung.) |
| Aufgabe 2 | | Multipliziere zwei Gruppen. (Beispielhaft zur Übung.) |
Ich möchte versuchen, diese mir selbst gestellten Aufgaben unter Verwendung der symmetrischen Gruppen [mm] S_{3} [/mm] und [mm] S_{4} [/mm] zu verstehen. Und zu überprüfen, ob meine Vorgehensweise richtig ist.
Zu Aufgabe 1:
Beispiel, ein Element aus [mm] S_{4} [/mm] ist gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4}=a.
[/mm]
Konjugiertes Element finden:
b [mm] \circ [/mm] a [mm] \circ b^{-1} [/mm] = c, dann ist c, dass zu a konjugierte Element.
Als Beispiel nehme ich b= [mm] \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}.
[/mm]
Dann ist [mm] b^{-1} [/mm] das Inverse Element zu b, sprich [mm] b^{-1}= \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3}, [/mm] da [mm] \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}\circ \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3} [/mm] = [mm] \pmat{ id }
[/mm]
[Ich rechne von rechts nach links] [mm] \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4} \circ \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4} \circ \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 2 & 3 & 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}
[/mm]
Also ist [mm] \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4} [/mm] konjugiert zu [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}. [/mm] [Natürlich gibt es noch mehr konjugierte Elemente.]
Zu Aufgabe 2:
Als Beispiel habe ich mir gedacht, nehme ich mal [mm] S_{4} [/mm] und [mm] S_{3}.
[/mm]
Dann sei [mm] G=S_{4}S_{3}.
[/mm]
Hier dürfte dann nicht das innere Produkt, also das verknüpfen jedes Elementes mit jedem Element (Verknüpfungstafel) gemeint sein, sondern das äußere Produkt. [mm] G=S_{4} \times S_{3} [/mm] auch das äußere Tensorprodukt.
Also:
[mm] S_{4} [/mm] ist die Permutation auf der Menge {1,2,3,4} mit [mm] \rho \in S_{4}.
[/mm]
[mm] S_{3} [/mm] ist die Permutation auf der Menge {1,2,3} mit [mm] \pi \in S_{3}.
[/mm]
Dann ist [mm] \rho \times \pi \in S_{4+3} [/mm] = [mm] S_{7}
[/mm]
Also: G ist die Permutation auf der Menge {1,2,3,4,5,6,7}.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Chessko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finde alle konjugierten Elemente zu einem gegebenem
> Element. (Beispielhaft zur Übung.)
> Multipliziere zwei Gruppen. (Beispielhaft zur Übung.)
> Ich möchte versuchen, diese mir selbst gestellten
> Aufgaben unter Verwendung der symmetrischen Gruppen [mm]S_{3}[/mm]
> und [mm]S_{4}[/mm] zu verstehen. Und zu überprüfen, ob meine
> Vorgehensweise richtig ist.
>
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> Beispiel, ein Element aus [mm]S_{4}[/mm] ist gegeben:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & 4}=a.[/mm]
>
> Konjugiertes Element finden:
>
> b [mm]\circ[/mm] a [mm]\circ b^{-1}[/mm] = c, dann ist c, dass zu a
> konjugierte Element.
>
>
> Als Beispiel nehme ich b= [mm]\pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]b^{-1}[/mm] das Inverse Element zu b, sprich [mm]b^{-1}= \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3},[/mm]
> da [mm]\pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}\circ \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3}[/mm] =
> [mm]\pmat{ id }[/mm]
>
> [Ich rechne von rechts nach links] [mm]\pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4} \circ \pmat{ 1 & 3 & 4 & 2}^{-1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 1 & 3 & 2 & 4} \circ \pmat{ 1 & 2 & 4 & 3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 3 & 4 & 2} \circ \pmat{ 2 & 3 & 4}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}[/mm]
Das ist prinzipiell richtig, du hast aber die Permutationen nicht von rechts nach links verknüpft.
> Also ist [mm]\pmat{ 1 & 3 & 2 & 4}[/mm] konjugiert zu [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4}.[/mm]
> [Natürlich gibt es noch mehr konjugierte Elemente.]
(![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ), das wäre dann richtig.
> Zu Aufgabe 2:
>
>
> Als Beispiel habe ich mir gedacht, nehme ich mal [mm]S_{4}[/mm] und
> [mm]S_{3}.[/mm]
>
> Dann sei [mm]G=S_{4}S_{3}.[/mm]
>
> Hier dürfte dann nicht das innere Produkt, also das
> verknüpfen jedes Elementes mit jedem Element
> (Verknüpfungstafel) gemeint sein, sondern das äußere
> Produkt. [mm]G=S_{4} \times S_{3}[/mm] auch das äußere
> Tensorprodukt.
Das kann dir eigentlich nur die Übung/Vorlesung beantworten, die Schreibweise [mm] $G=S_4 S_3$ [/mm] ist nicht selbst-erklärend. Wenn ich sie ohne deine Ausführungen lesen würde, würde ich eher daran denken, die Permutationen aus [mm] $S_3$ [/mm] zu erweitern, indem ich ein viertes Element dazunehme, dieses aber bei allen Permutationen fix lasse.
> Also:
> [mm]S_{4}[/mm] ist die Permutation auf der Menge {1,2,3,4} mit [mm]\rho \in S_{4}.[/mm]
>
> [mm]S_{3}[/mm] ist die Permutation auf der Menge {1,2,3} mit [mm]\pi \in S_{3}.[/mm]
>
> Dann ist [mm]\rho \times \pi \in S_{4+3}[/mm] = [mm]S_{7}[/mm]
>
> Also: G ist die Permutation auf der Menge {1,2,3,4,5,6,7}.
Das denke ich nicht, das dürfte doch von der Anzahl schon nicht stimmen:
[mm] $|S_{4} \times S_{3}|=|S_4|*|S_3|=4!*3!\not=7!=|S_7|$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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