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| Aufgabe | Löse die Kongruenzgleichungssysteme
x [mm] \equiv [/mm] 18 mod 11
x [mm] \equiv [/mm] 3 mod 18
x [mm] \equiv [/mm] 7 mod 25
und
2x + y [mm] \equiv [/mm] 4 mod 17
5x - 5y [mm] \equiv [/mm] 9 mod 17
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe keine Ahnung wie ich diese beiden Gleichungssysteme anpacken soll???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> x [mm]\equiv[/mm] 18 mod 11
> x [mm]\equiv[/mm] 3 mod 18
> x [mm]\equiv[/mm] 7 mod 25
Definition der Kongruenz anwenden:
$a*11 + 18 = x$
$b*18 + 3 = x$
$c*25 + 7 = x$
> 2x + y [mm]\equiv[/mm] 4 mod 17
> 5x - 5y [mm]\equiv[/mm] 9 mod 17
$2x+y=17a+4$
$5x-5y=17b+9$
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> Löse die Kongruenzgleichungssysteme
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> x [mm]\equiv[/mm] 18 mod 11
> x [mm]\equiv[/mm] 3 mod 18
> x [mm]\equiv[/mm] 7 mod 25
Hallo,
für so etwas nimmt man den ![[]](/images/popup.gif) chinesischen Restsatz - jedenfalls, wenn man den hatte...
>
> und
> 2x + y [mm]\equiv[/mm] 4 mod 17
> 5x - 5y [mm]\equiv[/mm] 9 mod 17
Du kannst mit diesen Gleichungen "ganz normal" umgehen, mußt halt bloß mit Restklassen mod 17 rechnen.
Wenn Du die erste Gleichung z.B. mit 5 multiplizierst, steht da
10x+5y [mm] \equiv [/mm] 3 mod 17 (5*4=17+3)
Gruß v. Angela
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Danke ihr seid die Besten... :)
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irgendwie kann ich die Variablen im ersten System nicht berechnen ... sind diese eindeutig bestimmt... wie kommt man auf das x
das zweite System hat wunderbar geklappt ... danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 22.03.2007 | | Autor: | wauwau |
die erste Gleichung kannst du anders schreiben und du hast daher folgendes System:
[mm](1) 11*a + 7 = x[/mm]
[mm](2) 18*b + 3 = x[/mm]
[mm](3) 25*c + 7 = x[/mm]
(1) - (2) umgeformt ergibt
[mm]a = 2b - \bruch{4b+4}{11}[/mm]
[mm]r = \bruch{4b+4}{11}[/mm] gesetzt
[mm]b = 3r - 1 - \bruch{r}{4}[/mm]
[mm]s = \bruch{r}{4}[/mm] gesetzt, ergibt
[mm]r = 4s[/mm]
Rückeingesetzt
[mm]b = 11s - 1[/mm] und weiters
[mm]x = 198s -15[/mm]
d.h. für alle ganzzahligen s erfüllt x die Gleichungen (1) und (2)
dieses x nun in Glg (3) eingesetzt, ergibt
[mm]25c + 7 = 198s - 15[/mm]
Gleiches Verfahren (Lösung von Diophanti. Glg. bzw Chin. REstsatz)
[mm]c = 8s - 1 - \bruch{2s-3}{25}[/mm]
[mm]t = \bruch{2s-3}{25}[/mm] gesetzt, ergibt
[mm]s = 12t + 1 + \bruch{t+1}{2}[/mm]
[mm]u = \bruch{t+1}{2}[/mm] gesetzt ergibt
[mm]t = 2u -1[/mm]
resubstituiert ergibt
[mm]s = 25u -11[/mm]
oder
[mm]x = 198*(25u -11) -15[/mm]
oder
[mm]x = 4950u - 2193[/mm]
erfüllt für alle ganzzahlige u alle drei Gleichungen also z.b
U=1
ergibt [mm]x = 2757 [/mm]
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