Kongruenzen mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p, für die
[mm] $x^2+x+1 \equiv [/mm] 0$ mod p nicht lösbar ist. |
Guten Tag,
ich habe mal per Wolfram Alpha die Kongruenz überprüft.
Zum Beispiel gibt es für $p=5,9,17,...$ keine Lösung.
aber wie rechne ich diese aus ohne ein Rechner zu benutzen?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 10.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p,
> für die
> [mm]x^2+x+1 \equiv 0[/mm] mod p nicht lösbar ist.
> Guten Tag,
>
> ich habe mal per Wolfram Alpha die Kongruenz überprüft.
>
> Zum Beispiel gibt es für [mm]p=5,9,17,...[/mm] keine Lösung.
> aber wie rechne ich diese aus ohne ein Rechner zu
> benutzen?
Mein Vorschlag: Es liegt eine quadratische Gleichung vor. Loese diese hier so, wie sonst auch loesen wuerdest. Daran kannst Du erkennen, unter welchen Voraussetzungen Loesungen existieren oder nicht - naemlich dann, wenn deine Rechnung [mm] $\mod [/mm] p$ durchfuehrbar ist.
$9$ ist uebrigens keine Primzahl
>
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mi 10.06.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
nur eine Ergänzung:
x²+x+1 ist für jede ganze Zahl x ungerade, somit funktioniert das auch nicht mod 2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 Do 11.06.2015 | | Autor: | hippias |
Noch eine kleine Ergaenzung: Meine urspruenglicher Tip benoetigt vielleicht Saetze, die ihr noch nicht besprochen habt. Daher gebe ich noch den Tip "geometrische Reihe", um das Problem in ein handlicheres umzuwandeln.
|
|
|
| |
|
Hallo AragornII,
> Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p,
> für die
> [mm]x^2+x+1 \equiv 0[/mm] mod p nicht lösbar ist.
Versuchs mal rückwärts.
Die Antwort lautet: für [mm] p\equiv 1\bmod{6} [/mm] ist die Kongruenz lösbar, für [mm] p\equiv -1\bmod{6} [/mm] nicht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Do 11.06.2015 | | Autor: | hippias |
Im Fall $p=3$ ist sie aber auch loesbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 11.06.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo hippias,
> Im Fall [mm]p=3[/mm] ist sie aber auch loesbar.
Ja, klar. p=2 und p=3 sollte man immer separat untersuchen, weil sie eben nicht in die Klassen [mm] p\equiv\pm 1\bmod{6} [/mm] fallen.
Grüße
reverend
|
|
|
|
