Kongruenzen, ganze Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 10.07.2008 | | Autor: | Toxy |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3k-1}=1/2 [/mm] + 1/5 + 1/8 + ... + 1/3n-1 keine ganze Zahl ergibt. |
Hey Leute, ich quäl mich schon seit ein paar Monaten mit dieser Aufgabe und kann sie leider nicht alleine lösen. Mein Betreuer meinte es müsste irgendwie mit Kongrunzen modulo 3 zu zeigen sein. Das hab ich jetzt probiert und bin aber immer noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen.
Ich hab bereits folgendes herausgefunden:
Hauptnenner = HN = 2 [mm] \cdot\ [/mm] 5 [mm] \cdot\ [/mm] ... [mm] \cdot\ [/mm] 3n-1 [mm] \equiv [/mm] mod 3
der Zähler wäre dann:
Z = [mm] \bruch{HN}{2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{HN}{3n-1}. [/mm] Jeder einzelne Summand im
Zähler ist kongruent -1 modulo 3. insgesamt heißt das dann:
[mm] Z\equiv n(-1)^{n-1} [/mm] mod 3.
jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter und vor allem weiß ich nicht wie ich durch Kongruenzen zeigen soll, dass die Summe keine ganze Zahl ergibt.
Bitte helft mir!!! vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 So 13.07.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Toxy und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de
Das finden wir hier nicht so toll.
> Zeige, dass [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{3k-1}=1/2[/mm] + 1/5 + 1/8
> + ... + 1/3n-1 keine ganze Zahl ergibt.
> Hey Leute, ich quäl mich schon seit ein paar Monaten mit
Seit ein paar Monaten? Das zeugt ja von enormer Ausdauer.
> dieser Aufgabe und kann sie leider nicht alleine lösen.
> Mein Betreuer meinte es müsste irgendwie mit Kongrunzen
> modulo 3 zu zeigen sein. Das hab ich jetzt probiert und bin
> aber immer noch nicht auf einen grünen Zweig gekommen.
Da hat er dich vermutlich auch (unabsichtlich) auf eine falsche Fährte gelockt.
Vorweg: Wenn du für ein paar kleine n die Summe berechnest und das Ergebnis kürzst, was du hoffentlich gemacht hast, stellst du fest, daß du immer einen ungeraden Zähler und einen geraden Nenner erhältst. Das legt nahe, irgendwie mit der 2 zu hantieren.
> Ich hab bereits folgendes herausgefunden:
> Hauptnenner = HN = 2 [mm]\cdot\[/mm] 5 [mm]\cdot\[/mm] ... [mm]\cdot\[/mm] 3n-1
Das ist nicht unbedingt der Hauptnenner, der Hauptnenner wäre das kgV. Aber mit diesem Produkt rechne ich auch.
> [mm]\equiv[/mm] mod 3
??? Da fehlt anscheinend etwas, ist aber jetzt egal.
> der Zähler wäre dann:
> Z = [mm]\bruch{HN}{2}[/mm] + ... + [mm]\bruch{HN}{3n-1}.[/mm] Jeder einzelne
> Summand im
> Zähler ist kongruent -1 modulo 3. insgesamt heißt das dann:
> [mm]Z\equiv n(-1)^{n-1}[/mm] mod 3.
> jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter und vor allem weiß
> ich nicht wie ich durch Kongruenzen zeigen soll, dass die
> Summe keine ganze Zahl ergibt.
Alles gut und schön, aber eben nicht zielführend, bei mir auch nicht. Daher anders:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(3i-1)} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1} + ... + a_{n}}{\produkt_{i=1}^{n}(3i - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
mit [mm] a_{j} [/mm] = [mm] \produkt_{i\not=j}^{}(3i-1)
[/mm]
Unter den n Zahlen (3i-1) gibt es genau eine, in deren Primfaktorzerlegung 2 in höchster Potenz auftaucht. (doppelt oder dreifach geht nicht wegen der Kongruenzbed. [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3, 4fach hat höhere Zweierpotenz). Ist 3k-1 diese Zahl, dann ist entsprechend [mm] a_{k} [/mm] der einzige Summand mit minimaler Zweierpotenz. Diese Zweierpotenz ist dann genau die Zweierpotenz in der Primfaktorzerlegung des Zählers. Nach vollständiger Kürzung ist also der Zähler ungerade und der Nenner gerade, also der Bruch nicht ganz.
In der Sprache der diskreten Bewertungen: [mm] v_{2}(p) [/mm] < [mm] v_{2}(q).
[/mm]
> Bitte helft mir!!! vielen Dank
Gerne doch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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