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Kongruenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 So 30.08.2009
Autor: Fry

Hallo zusammen,

habe hier eine Stelle aus einem Beweis, die ich nicht so ganz verstehe.
Also sei [mm] $k\in \IN$. [/mm] Man betrachte die Summe [mm] $\sum_{v=1}^{p-1}(vk)^n$ [/mm]
Für jedes $vk$ existiert ein kleinster positiver Rest [mm] $m_v, 0\le m_v\le [/mm] p-1$ mit
[mm] $vk=m_v+pq$ [/mm]  wobei [mm] ($q=[\bruch{vk}{p}]$). [/mm] (Dies ist nur Division mit Rest oder?)
Dann ist [mm] $(vk)^n\equiv m^n_v+m^{n-1}_v [/mm] npq [mm] \mod p^2$ [/mm]
[mm] $(vk)^n\equiv m^n_v+(vk)^{n-1}npq \mod p^2$. [/mm]

Ist [mm] $k\not\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] p$, so bilden die Zahlen $vk$ für [mm] $1\le v\le [/mm] p-1$
eine Umordnung mod p der Zahlen v.
Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt man darauf?

Es folgt:
[mm] $\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n$ [/mm]
Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.

Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet, das zu verstehen.
Vielen Dank!

Gruß
Christian

        
Bezug
Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 So 30.08.2009
Autor: abakus


> Hallo zusammen,
>  
> habe hier eine Stelle aus einem Beweis, die ich nicht so
> ganz verstehe.
>  Also sei [mm]k\in \IN[/mm]. Man betrachte die Summe
> [mm]\sum_{v=1}^{p-1}(vk)^n[/mm]
>  Für jedes [mm]vk[/mm] existiert ein kleinster positiver Rest [mm]m_v, 0\le m_v\le p[/mm]
> mit
>  [mm]vk=m_v+pq[/mm]  wobei ([mm]q=[\bruch{vk}{p}][/mm]). (Dies ist nur
> Division mit Rest oder?)
>  Dann ist [mm](vk)^n\equiv m^n_v+m^{n-1}_v npq \mod p^2[/mm]
>  
> [mm](vk)^n\equiv m^n_v+(vk)^{n-1}npq \mod p^2[/mm].
>  
> Ist [mm]k\not\equiv 0 \mod p[/mm], so bilden die Zahlen [mm]vk[/mm] für [mm]1\le v\le p-1[/mm]
>  
> eine Umordnung mod p der Zahlen v.
>  Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt
> man darauf?
>  
> Es folgt:
>  [mm]\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n[/mm]
>  Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.
>  
> Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet, das zu
> verstehen.
>  Vielen Dank!
>  
> Gruß
>  Christian

Hallo,
das Beweisfragment ist etwas aus dem Zusammenang heraus zitiert.
Ich nehme aber an, dass es hier um folgendes geht:
Die Summanden [mm] m^n_v [/mm] lassen sicherlich alle möglichen Reste von 1 bis p-1.
Möglicherweise lässt [mm] v^1, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_1, [/mm] und lässt [mm] v^2, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_2, [/mm] und lässt [mm] v^3, [/mm] einen anderen Rest als [mm] m^n_3 [/mm] usw., aber wenn auch die Summanden  [mm] v^n [/mm] alle möglichen Reste lassen, so sind die beiden Restesummen gleich (weil sie, wenn auch nicht in der gleichen Reihenfolge, so doch die gleichen - nämlich alle möglichen - Summanden enthalten.)
Das ist sicher mit "Umordnung" gemeint.
Gruß Abakus


Bezug
                
Bezug
Kongruenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 So 30.08.2009
Autor: Fry

Danke für die Antwort, aber kann man das auch irgendwie begründen?

Gruß
Christian

Bezug
                        
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Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Di 01.09.2009
Autor: felixf

Hallo Christian,

> Danke für die Antwort, aber kann man das auch irgendwie
> begründen?

ist die Frage eigentlich noch aktuell, oder hat sich das durch meine Antwort erledigt?

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Mi 02.09.2009
Autor: Fry

Hey Felix,

das hat sich durch deine Antwort für Erste erledigt : ).

Bezug
        
Bezug
Kongruenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 So 30.08.2009
Autor: felixf

Hallo Christian,

> Ist [mm]k\not\equiv 0 \mod p[/mm], so bilden die Zahlen [mm]vk[/mm] für [mm]1\le v\le p-1[/mm]
> eine Umordnung mod p der Zahlen v.
>  Wie kann ich mir das in Formeln vorstellen und wie kommt
> man darauf?

Also $v$ und $k$ sind Elemente der Gruppe [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast [/mm] = [mm] \{ 1 + p \IZ, 2 + p \IZ, \dots, (p-1) + p \IZ \}$, [/mm] und allgemein ist die Rechtstranslation $G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto [/mm] x k$ bijektiv. Damit ist [mm] $\{ v k + p \IZ \mid 1 \le v \le p - 1 \} [/mm] = [mm] \{ v + p \IZ \mid 1 \le v \le p - 1 \}$. [/mm]

> Es folgt:
>  [mm]\sum_{v=1}^{p-1}m^n_v=\sum_{v=1}^{p-1}v^n[/mm]
>  Die Schlußfolgerung kann ich auch nicht nachvollziehen.

Nun, da [mm] $\{ m_1, \dots, m_{p-1} \} [/mm] = [mm] \{ 1, \dots, p-1 \}$ [/mm] ist (wegen der Umordnung) ist [mm] $\sum_{i=1}^{p-1} m_i^n [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{p-1} i^n$. [/mm]

Ich hoffe das hlift dir etwas weiter...

LG Felix


Bezug
                
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Kongruenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Mo 31.08.2009
Autor: Fry

Hi Felix,

dank dir!
hat mich auf jeden Fall weitergebracht :).

Gruß
Christian

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