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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 26.04.2009 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo ihr!
Ich habe eine Frage. Ich soll für die folgende Kongruenz eine Einschränkung vornehmen.
Es gilt [mm] $a^{p}\equiv [/mm] 1$ mod [mm] $q^{2}$, [/mm] wobei $p$ und $q$ verschiedene Primzahlen sind. Es soll zudem a nicht kongruent zu 1 mod [mm] $q^{2}$ [/mm] sein.
In dem Artikel den ich gerade lese steht, dass eine solche Zahl a nur dann existiert, wenn p ein Teiler von q(q-1) ist und daher von q.
Aus welchem Satz folgt diese Aussage?
Es wäre schön, wenn Ihr mir weiter helfen könntet!
Viele Grüße
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 So 26.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo ihr!
> Ich habe eine Frage. Ich soll für die folgende Kongruenz
> eine Einschränkung vornehmen.
> Es gilt [mm]a^{p}\equiv 1[/mm] mod [mm]q^{2}[/mm], wobei [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm]
> verschiedene Primzahlen sind. Es soll zudem a nicht
> kongruent zu 1 mod [mm]q^{2}[/mm] sein.
> In dem Artikel den ich gerade lese steht, dass eine solche
> Zahl a nur dann existiert, wenn p ein Teiler von q(q-1)
> ist und daher von q.
Hallo,
von q sicher nicht (denn q ist ja selbst Primzahl).
Im ersten Moment habe ich (irrtümlich) an den kleinen Satz von Fermat gedacht, aber der lautet ja
[mm] a^{p-1}\equiv [/mm] 1 mod p und in der Folgerung [mm] a^p\equiv [/mm] a mod p.
Aber versuchen wir es mal anders:
Aus [mm]a^{p}\equiv 1[/mm] mod [mm]q^{2}[/mm], folgt [mm]a^{p}-1\equiv 0[/mm] mod [mm]q^{2}[/mm],
und da würde ich jetzt mal die Summenformel der geoetrischen Reihe ansetzten:
[mm] (a-1)(a^{p-1}+ a^{p-2}+a^{p-3}+...+a^2+a+1) \equiv [/mm] 0 mod [mm] q^2.
[/mm]
Da a nicht den Rest 1 mod [mm] q^2 [/mm] lassen soll, ist entweder die Summe (also der zweite Faktor) durch [mm] q^2 [/mm] teilbar, oder a-1 und die Summe sind jeweils durch q teilbar.
Ist das eine Idee, die weiter hilft?
Gruß Abakus
> Aus welchem Satz folgt diese Aussage?
> Es wäre schön, wenn Ihr mir weiter helfen könntet!
>
> Viele Grüße
> Jenny
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