Kongruenzabbildungen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:12 Do 23.08.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck A,B,C und die Geraden f,g,h und der Mittelpunkt des Dreieckes
Die Abbildungen [mm] S_f,S_g,S_h,D_{M,12}, D_{M,240} [/mm] und id sind alle Kongruenzabildungen des Dreiecks. Zusammen mit der Hintereinanderausführung [mm] \circ [/mm] als Verknüpfung bilden die Abbildungen die Gruppe der Kongruenzabbildungen des Dreiecks.
Aufgabe:
Finde die kleinste Teilmenge der Kongruenzabbildungen des Dreiecks, welche eine Gruppe ist und [mm] S_h [/mm] enthält. Zeige die Existenz des neutralen Elements, Abgeschlossenheit und Existenz des Inversen! |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Könnt ihr mir hier einen Denkanstoß geben? Das ist eine alte Klausuraufgabe aber ich finde keinen Anfang.
Ich weiß nicht wie ich die Eigenschaften nachweisen kann. Nehme ich mir einen Punkt des Dreiecks und zeige das oder gehe ich von den geraden aus? Ich weiß nicht recht "wofür" und "womit" ich die Gruppeneigenschaften zeige.
LG
heinze
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
wenn die gesuchte Untergruppe U die Abbildung [mm] S_h [/mm] enthalten soll, sind alle Potenzen von [mm] S_h [/mm] auch drin.
Was ist denn
[mm] S_h^2=...
[/mm]
[mm] S_h^3=...
[/mm]
[mm] \vdots?
[/mm]
Das könnte Dich auf die Idee bringen, daß möglicherweise [mm] U=\{id, S_h}.
[/mm]
Ist die Menge bzgl [mm] \circ [/mm] abgeschlossen?
Na, Du kannst ja mal alle Hintereinanderausführungen, die hier vorkommen können, ausrechnen und es anhand Deiner Ergebnisse entscheiden.
Hast Du eine Idee, was das neutrale Element e hier ist?
Wenn ja: rechne halt vor, daß es bei jedem Element u aus U klapt, daß [mm] e\circ u=u\circ [/mm] e=u.
Inverses: gibt zu jedem [mm] u\in [/mm] U das inverse an, indem Du vorrechnest mit welchem Element man das jeweilige u verknüpfen muß, um das neutrale zu bekommen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Do 23.08.2012 | | Autor: | heinze |
So richtig einleuchtend ist mir das noch nicht.
Das neutrale Element ist ja immer die Identität.
Ich hatte mir mal eine Tabelle angelegt wo jede Abbildung mit jeder Verknüpft werden kann. da habe ich mal alle Abbildungen betrachtet.
Abgeschlossenheit liegt überall vor, denn alle nur Elemente aus den angegeben Abbildungen treten auf.
Die identische Abbildung muss das neutrale Element sein.
Geradenspiegelungen und Identität sind zu ich jeweils selbst invers und [mm] D_{M,120} [/mm] zu [mm] D_{M,240}
[/mm]
Assoziativität kann man in der Tabelle jetzt so nicht erkennen. denke aber sie gilt!
Mich verwirrt hier "die kleinste Menge der KOngruenzabbildungen im Dreieck die [mm] S_h [/mm] enthält"
neutrales Element zu [mm] S_h [/mm] ist id
inverses Element zu [mm] S_h [/mm] ist [mm] S_h
[/mm]
Abgeschlossenheit hilt wie in meiner Tabelle zu sehen.
Also wäre die kleinste Teilmenge [mm] ({id,S_h},\circ)?
[/mm]
LG
heinze
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> Mich verwirrt hier "die kleinste Menge der
> KOngruenzabbildungen im Dreieck die [mm]S_h[/mm] enthält"
Hallo,
und eine Gruppe bildet. (!)
Vielleicht kannst Du genauer sagen, was Dich daran iriitiert.
Die Menge soll halt möglichst klein sein,
[mm] S_h [/mm] soll drin sein,
und es soll eine Gruppe sein.
>
> neutrales Element zu [mm]S_h[/mm] ist id
Es gibt kein "neutrales Element zu irgendwas"
Das neutrale Element ist ein und dasselbe für die ganze Gruppe.
Hier ist das neutrale Element id, wie Du richtig sagst.
Es ist nämlich [mm] S_h\circ id=id\circ S_h=S_h [/mm] und [mm] id\circ [/mm] id=id.
> inverses Element zu [mm]S_h[/mm] ist [mm]S_h[/mm]
Und zu id?
> Abgeschlossenheit hilt wie in meiner Tabelle zu sehen.
Ich weiß gerade nicht, was Du damit meinst.
Du kannst doch einfach [mm] S_h\circ S_h, S_h\circ [/mm] id, [mm] id\circ S_h [/mm] und [mm] id\circ [/mm] id vorrechnen.
>
> Also wäre die kleinste Teilmenge [mm]({id,S_h},\circ)?[/mm]
Die kleinste Teilmenge, die das geforderte tut, wäre [mm] \{id, S_h\}, [/mm] denn [mm] (\{id, S_h\};\circ) [/mm] ist eine Gruppe.
(Dir sollte klar sein, daß man die Menge nicht auf [mm] \{S_h\} [/mm] verkleinern kann.)
LG Angela
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>
> LG
> heinze
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