Kongruenz beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Kongruenz
[mm] z^2\equiv [/mm] z mod 1+i
für alle z [mm] \in \mathbb{Z}[i] [/mm] gilt. |
Hallo,
irgendwie scheitere ich an dieser Kongruenz...ich habe das so versucht:
[mm] z^2\equiv [/mm] z mod 1+i
[mm] \Leftrightarrow [/mm] es ex. ein s [mm] \in \mathbb{Z}[i], [/mm] mit [mm] z^2-z=(1+i)s
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow s=\bruch{z^2-z}{1+i}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow s=\bruch{(z^2-z)(1-i)}{2}
[/mm]
Und nun bekomme ich diese 2 im Nenner nicht weg.....das müsste ich doch aber tun, um zu zeigen, dass s in [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] ist.
Ist das hier der falsche Ansatz, oder stehe ich einfach nur auf dem Schlauch?
Vielen Dank schonmal für Tips
Gruß
congo
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Hallo,
irgendwie klappt das Zitieren Deines Artikels nicht richtig.
Schauen wir uns den Ausdruck [mm] s=\bruch{(z^2-z)(1-i)}{2} [/mm] genauer an.
Mit z=x+iy hat man
[mm] s=\bruch{(x^2-y^2+2xyi-x-yi)(1-i)}{2} [/mm]
[mm] =\bruch{[(x^2-y^2-x)+(2xy-y)i](1-i)}{2} [/mm]
[mm] =\bruch{[(x^2-y^2-x+2xy-y)+(2xy-y-x^2+y^2+x)i]}{2} [/mm] .
Und nun überlege Dir, warum [mm] x^2-y^2-x+2xy-y [/mm] und [mm] 2xy-y-x^2+y^2+x [/mm] beide gerade sind.
Tip: [mm] x^2-y^2-x+2xy-y=x(x-1)-y(y+1)+2xy
[/mm]
Gruß v. Angela
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