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| Aufgabe | Es seien x1 und x2 zwei Lösungen des Kongruenzensystems
x ≡ a (mod u), x ≡ b (mod v). Zeigen Sie, dass dann x1 ≡ x2 (mod uv). Tipp: betrachten Sie den Wert x1 – x2.
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hallo.
mein ansatz:
u teilt x-a
v teilt x-b
ich muss nach:
uv teilt x1-x2 (<=> x1 ≡ x2 (mod uv))
beispiel:
x ≡ 2 (mod13)
x ≡ 5 (mod15)
ergebnis muss sein:
x1=80
x2=275
275 ≡ 80 (mod195) <=> 195 teilt 275-80
aber wie komme ich da hin?
jemand eine idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien x1 und x2 zwei Lösungen des Kongruenzensystems
> x ≡ a (mod u), x ≡ b (mod v). Zeigen Sie, dass dann x1
> ≡ x2 (mod uv). Tipp: betrachten Sie den Wert x1 – x2.
Die Aussage ist so schlichtweg falsch. Sie gilt nur dann, wenn $ggT(u, v) = 1$ ist. Ansonsten lassen sich immer Gegenbeispiele finden.
Nehmen wir also an, dass $u$ und $v$ teilerfremd sind.
> mein ansatz:
>
> u teilt x-a
> v teilt x-b
Hier musst du $x$ durch [mm] $x_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] ersetzen. Kannst du etwas ueber [mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_2$ [/mm] aussagen?
> ich muss nach:
>
> uv teilt x1-x2 (<=> x1 ≡ x2 (mod uv))
>
>
> beispiel:
>
> x ≡ 2 (mod13)
> x ≡ 5 (mod15)
>
> ergebnis muss sein:
_muss_? Es gibt viele Loesungen.
LG Felix
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dann bekomme ich ja 4 gleichungen, nämlich:
u | x1 - a und u | x2 - a
v | x1 - b und v | x2 - b
über x1-x2 kann man sagen, dass uv | x1-x2
!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> dann bekomme ich ja 4 gleichungen, nämlich:
>
> u | x1 - a und u | x2 - a
> v | x1 - b und v | x2 - b
Ja.
> über x1-x2 kann man sagen, dass uv | x1-x2
Na, wenn du das sagen kannst, bist du fertig. Aber demnach:
> !?
zu schliessen bist du dir nicht sicher. Also, wie kommst du auf $u v [mm] \mid (x_1 [/mm] - [mm] x_2)$?
[/mm]
LG Felix
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auf uv | x1-x2 komme ich durch die aufgabenstellung.
da steht, dass das ergebniss:
x1 kong. x2 (mod uv)
sein soll, das ist ja <=> uv|x1-x2
nur weiß ich den schritt von den 4 gleichungen die ich vorher formuliert habe zu uv|x1-x2 nicht.
help
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> auf uv | x1-x2 komme ich durch die aufgabenstellung.
Ja.
> da steht, dass das ergebniss:
>
> x1 kong. x2 (mod uv)
>
> sein soll, das ist ja <=> uv|x1-x2
Ja, das soll rauskommen. Versuch doch erstmal $u [mm] \mid (x_1 [/mm] - [mm] x_2)$ [/mm] und $v [mm] \mid (x_1 [/mm] - [mm] x_2)$ [/mm] zu bekommen.
LG Felix
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ich schaffe es doch nicht..
ich habe:
I. u * k1 = x1 - a
II. u * k2 = x2 - a
III. v * k3 = x1 - b
IV. v* k4 = x2 - b
wie komme ich nach:
u | x1 - x2 <=> u * k5 = x1 - x2
v | x1 - x2 <=> v * k6 = x1 - x2
ich bekomm das nicht hin, der eine knackpunkt beim beweisen..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich schaffe es doch nicht..
>
> ich habe:
>
> I. u * k1 = x1 - a
> II. u * k2 = x2 - a
> III. v * k3 = x1 - b
> IV. v* k4 = x2 - b
>
>
> wie komme ich nach:
>
> u | x1 - x2 <=> u * k5 = x1 - x2
> v | x1 - x2 <=> v * k6 = x1 - x2
>
> ich bekomm das nicht hin, der eine knackpunkt beim
> beweisen..
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] - a) - [mm] (x_2 [/mm] - a)$.
LG Felix
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