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| Aufgabe | [mm] (X_{1},...,X_{n}) [/mm] iid., [mm] X_{1}\sim Exp(\lambda), \lambda>0, \alpha [/mm] aus (0,1)
gesucht: asymptotisches Konfidenzintervall für Var [mm] (X_{i})
[/mm]
Hinweis: Konstruiere zuerst das asymptotische Konfidenzintervall für [mm] E(X_{i}) [/mm] |
Ich weiß, dass der Erwartungswert der Exponentialverteilung [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] und die Varianz [mm] \bruch{1}{\lambda^{2}} [/mm] ist.
Nach dem ZGWS gilt :
[mm] \wurzel[]{n}*\bruch{\overline{X_{n}}-\bruch{1}{\lambda}}{\bruch{1}{\lambda}} \to [/mm] X [mm] \sim [/mm] N(0,1) für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} P(\wurzel[]{n}*\bruch{\overline{X_{n}}-\bruch{1}{\lambda}}{\bruch{1}{\lambda}} \le [/mm] z) = Quantil(z)
Insbesondere
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(z_{\bruch{\alpha}{2}}\le \wurzel[]{n}*\bruch{\overline{X_{n}}-\bruch{1}{\lambda}}{\bruch{1}{\lambda}} \le z_{1-\bruch{\alpha}{2}}) [/mm] = [mm] 1-\alpha,
[/mm]
wobei [mm] z_{1-\alpha} [/mm] das [mm] (1-\alpha)-Quantil [/mm] der Normalverteilung ist.
Muss ich nun für das KI des EW einfach nach [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] umstellen? Wie hilft mir das für das KI der Varianz? Hier würde ich nach [mm] \bruch{1}{\lambda^{2}} [/mm] umstellen.
Bin sehr dankbar für schnelle Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Do 14.10.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
sieht alles richtig aus.
Wenn [mm] $\frac1\lambda$ [/mm] mit Wkeit [mm] $\alpha$ [/mm] in einem symmetrischen Intervall ist, in welchem Intervall ist dann das Quadrat [mm] $\frac1{\lambda^2}$ [/mm] mit Wkeit [mm] $\alpha$? [/mm]
[mm] $\frac1\lambda\in [/mm] [-a,a]\ [mm] \gdw\ \frac1{\lambda^2}\in\ [/mm] ?$
ciao
Stefan
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