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Hi!
Hänge mal wieder an einer Aufgabe:
In einer Stadt hat man in den letzten 35 Jahren die Niederschlagsmengen pro Monat aufgezeichnet.
Für i=1,...,35 sei [mm] x_{i} [/mm] die Niederschlagsmenge (in mm) im April des i-ten Jahres.
Das arithmet. Mittel ist 53,68 und die empirische Streuung 6,31.
Es wird angenommen, dass die Daten Realisierungen von 35 unabh. und identisch [mm] N(\mu, \sigma^{2})-vert. [/mm] Zufallsgrößen sind.
Best. Sie jeweils ein nicht triviales Konfidenzintervall für
a) [mm] \sigma^{2}
[/mm]
b) [mm] \mu [/mm] unter der Annahme [mm] \sigma^{2}=6,13^{2},
[/mm]
das eine Sicherheitswsk. von 95% hat.
Hinweis:
Sei [mm] \cal{X} [/mm] ein Grundraum und [mm] (P_{\phi})_{\phi\in\Phi} [/mm] eine Schar von WSK-Maßen auf [mm] \cal{X}.
[/mm]
Eine Abbildung [mm] \cal{K} [/mm] : [mm] \cal{X} \to \cal{P} [/mm] ( [mm] \Phi) [/mm] heißt Konfidenzintervall zur Sicherheitswsk. [mm] 1-\alpha [/mm] mit [mm] \alpha\in(0,1), [/mm] wenn:
[mm] P_{\phi} [/mm] ({x [mm] \in \cal{X} [/mm] : [mm] \Phi \in [/mm] K(x)} [mm] )\ge 1-\alpha [/mm] für alle [mm] \phi\in\Phi.
[/mm]
Kann mir jemand dabei helfen?
Verstehe mal wieder nur Bahnhof!
GuK
Eure Karin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Do 10.02.2005 | | Autor: | cathy |
Also ich versuchs erstmal mit b)
n=35
[mm] \alpha=0,05
[/mm]
[mm] \overline{x_{n}}=53,68
[/mm]
[mm] \sigma=6,31
[/mm]
[mm] x_{i} [/mm] id., unabh., Normalverteilt
Sei
[mm] Y_{n} [/mm] := (( [mm] \overline{x_{n}} [/mm] - [mm] \mu [/mm] )/ [mm] \sigma) [/mm] * [mm] \wurzel{n}
[/mm]
N(0,1) verteilt
[mm] P(\lambda_{\alpha/2} \le Y_{n} \le \lambda_{1-\alpha/2})=1- \alpha
[/mm]
[mm] \vdots [/mm] (umestellen)
[mm] P(\overline{x_{n}} [/mm] - [mm] \lambda_{1-\alpha/2} [/mm] * [mm] (\sigma/ \wurzel{n}) \le \mu \le \overline{x_{n}} [/mm] + [mm] \lambda_{1-\alpha/2} [/mm] *( [mm] \sigma/ \wurzel{n} ))=1-\alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
I= [mm] [\overline{x_{n}} [/mm] - [mm] \lambda_{1-\alpha/2} [/mm] * [mm] (\sigma/ \wurzel{n}) [/mm] , [mm] \overline{x_{n}} [/mm] + [mm] \lambda_{1-\alpha/2} [/mm] *( [mm] \sigma/ \wurzel{n} [/mm] )]
..ausrechenen...
für a) ist setze u:= [mm] ((n-1)*s_{n}^2)/\sigma^2 [/mm]
das ist chi-quadrat verteilt mit n-1 FHG
[mm] P(\chi_{n-1,\alpha/2}^2 \le [/mm] u [mm] \le \chi_{n-1,1-\alpha/2}^2)=1-\alpha
[/mm]
Den Rest wie oben, blos halt für [mm] \sigma^2 [/mm] und nicht für [mm] \mu
[/mm]
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Hallo!
Ich hänge an der selben Aufgabe! 
b) habe ich schon hinbekommen und dann das Intervall [51.59, 55.77] erhalten.
>
>
> für a) ist setze u:= [mm]((n-1)*s_{n}^2)/\sigma^2[/mm]
> das ist chi-quadrat verteilt mit n-1 FHG
>
> [mm]P(\chi_{n-1,\alpha/2}^2 \le[/mm] u [mm]\le \chi_{n-1,1-\alpha/2}^2)=1-\alpha[/mm]
>
> Den Rest wie oben, blos halt für [mm]\sigma^2[/mm] und nicht für
> [mm]\mu[/mm]
Da habe ich meine Schwierigkeiten.
1. Was ist denn genau "chi-verteilt"?
2. Was ist [mm] s_{n}?
[/mm]
3. Wie stelle ich das so um, dass [mm] \sigma^{2} [/mm] im Zähler steht? Indem ich alles hoch -1 mache?
Dann hätte ich: [mm] I(X_{1},...,X_{n})= [ \bruch{(n-1)s_{n}^{2}}{ \chi_{n-1,\bruch{ \alpha}{2}}^{2} }, \bruch{(n-1)s_{n}^{2}}{ \chi_{n-1,1- \bruch{ \alpha}{2}}^{2} } ] [/mm]
Stimmt das so?
Könnte mir jemand hier helfen?
Das wäre klasse!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 23.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Dann hätte ich: [mm]I(X_{1},...,X_{n})= [ \bruch{(n-1)s_{n}^{2}}{ \chi_{n-1,\bruch{ \alpha}{2}}^{2} }, \bruch{(n-1)s_{n}^{2}}{ \chi_{n-1,1- \bruch{ \alpha}{2}}^{2} } ][/mm]
>
> Stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Das ist ja super
Aber was ist denn nun [mm] s_{n} [/mm] ? ^^
Kann mir das jemand sagen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 23.07.2014 | | Autor: | hippias |
Das muesste die empirische Streuung sein. Dies wird sicherlich bei der [mm] $\chi^{2}$-Verteilung [/mm] genau erlaeutert sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Do 24.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank!
Na, ich hatte den Ansatz bei der Antwort zu meiner "Vor-Fragerin" gesehen und habe den weiterverfolgt, aber da war das eben nicht definiert ^^
Vielen Dank euch allen für die Hilfe
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