Kondition der Multiplikation < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
In einer der ersten Numerikvorlesungen lernt man ja immer, dass die Multiplikation im Gegensatz zur Addition gut konditioniert ist. Das wollte ich mir jetzt einmal herleiten und bin dabei auf einige Schwierigkeiten gestoßen. Es gilt ja für die relative Kondition $K(x) = [mm] \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert \delta y \Vert / \Vert y \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert}$ [/mm] mit einer Nullumgebung $B$ und geeigneten Normen.
Ich gehe jetzt davon aus, dass es eine diffbare Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gibt, die das Problem löst. Dann gilt für kleine [mm] $\delta [/mm] x$ (was wir sinnvollerweise für [mm] $\delta [/mm] x [mm] \in [/mm] B$ annehmen können) ja näherungsweise
$$K(x) = [mm] \sup_{\delta x \in B} \left| \frac{(f(x + \delta x) - f(x)) * x}{f(x) * \delta x} \right| [/mm] = [mm] \sup_{\delta x \in B} \left| \frac{f'(x)*\delta x * x}{f(x) * \delta x} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{f'(x)}{f(x)}*x \right|$$
[/mm]
Also für festes $y [mm] \in \IR$ [/mm] erhalten wir mit $f(x) = x [mm] \cdot [/mm] y$ und $f'(x) = y \ \ K(x) = 1$. Also ist das Problem wie erwartet bzw. erhofft gut konditioniert.
Betrachtet man nun eine diffbare Funktion $f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] und verwendet eine induzierte Matrixnorm gilt
$$K(x) = [mm] \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert \delta y \Vert / \Vert y \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert} [/mm] = [mm] \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert f'(x) * \delta x \Vert / \Vert f(x) \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert}= \frac{\Vert f'(x) \Vert * \Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}$$
[/mm]
Betrachten wir nun wieder die Multiplikation $f(x,y) = x [mm] \cdot [/mm] y$ mit $f'(x,y) = (y, x)$ und verwenden wir die euklidische Norm, so folgt $K(x) = [mm] \frac{x^2 + y^2}{|xy|}$. [/mm] Dies ist aber für $x = 1$ und $y = 0.0001$ z.B. sehr schlecht konditioniert!
Wo steckt der Denkfehler?
Gruß,
Stephan
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Hi,
> Hallo zusammen!
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> In einer der ersten Numerikvorlesungen lernt man ja immer,
> dass die Multiplikation im Gegensatz zur Addition gut
> konditioniert ist. Das wollte ich mir jetzt einmal
> herleiten und bin dabei auf einige Schwierigkeiten
> gestoßen. Es gilt ja für die relative Kondition [mm]K(x) = \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert \delta y \Vert / \Vert y \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert}[/mm]
> mit einer Nullumgebung [mm]B[/mm] und geeigneten Normen.
>
> Ich gehe jetzt davon aus, dass es eine diffbare Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> gibt, die das Problem löst. Dann gilt für kleine [mm]\delta x[/mm]
> (was wir sinnvollerweise für [mm]\delta x \in B[/mm] annehmen
> können) ja näherungsweise
> [mm]K(x) = \sup_{\delta x \in B} \left| \frac{(f(x + \delta x) - f(x)) * x}{f(x) * \delta x} \right| = \sup_{\delta x \in B} \left| \frac{f'(x)*\delta x * x}{f(x) * \delta x} \right| = \left| \frac{f'(x)}{f(x)}*x \right|[/mm]
>
> Also für festes [mm]y \in \IR[/mm] erhalten wir mit [mm]f(x) = x \cdot y[/mm]
> und [mm]f'(x) = y \ \ K(x) = 1[/mm]. Also ist das Problem wie
> erwartet bzw. erhofft gut konditioniert.
>
> Betrachtet man nun eine diffbare Funktion [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm]
> und verwendet eine induzierte Matrixnorm gilt
> [mm]K(x) = \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert \delta y \Vert / \Vert y \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert} = \sup_{\delta x \in B} \frac{\Vert f'(x) * \delta x \Vert / \Vert f(x) \Vert}{\Vert \delta x \Vert / \Vert x \Vert}= \frac{\Vert f'(x) \Vert * \Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}[/mm]
>
> Betrachten wir nun wieder die Multiplikation [mm]f(x,y) = x \cdot y[/mm]
> mit [mm]f'(x,y) = (y, x)[/mm] und verwenden wir die euklidische
> Norm, so folgt [mm]K(x) = \frac{x^2 + y^2}{|xy|}[/mm]. Dies ist aber
> für [mm]x = 1[/mm] und [mm]y = 0.0001[/mm] z.B. sehr schlecht konditioniert!
>
was meinst du hier mit multiplikation? die normale multipl. von zwei reellen zahlen $f(x,y)=xy$? in diesem fall ist der zaehler gegeben durch [mm] $|(y,x)\cdot [/mm] (x,y)|=2|xy|$, so dass du die kondition 2 erhaeltst. (so ist es jedenfalls bei Wiki zu lesen)
gruss
matthias
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