Kondensator Draht schmelzen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Kondensator lässt Draht schmelzen
Ein Kondensator mit eine Kapazität von C [mm] =10^{-6}F [/mm] wird mit einer Spannung von 10000Volt aufgeladen. Anschließend wird der Kondensator über ein Kupferdraht( spez. Widerstand [mm] 1,72*10^{-8}Ohm [/mm] m der Länge 1m und der Dicke [mm] 10^{-4}m [/mm] wieder entladen.
Berechnen Sie die Zeit die vergeht, bis der Draht so viel Energie aus dem Kondensator aufgenommen hat, dass er schmizt (Temperatur Schmelz =1357,77K)
Hinweis: Dichte Kupfer 8,96g/cm³ und spezif. Wärmekapazität cv=0,385 J/gK. Vernachlässigen sie abgestrahlte Wärme.) |
1. Widerstand des Kupferdrahts :
[mm] A_{Draht}= 7,854*10^{9}m²
[/mm]
[mm] V_{Draht}= 7,854*10^{9}m³
[/mm]
[mm] R=(1,72*10^{-8}Ohm [/mm] m *1m) [mm] /7,854*10^{9}m² [/mm] = 2,19 Ohm
bei Zimmertemperatur 300K:
[mm] E_{therm}=m*c*\DeltaT =2,7*10^{-2}J/K*(1357,77-300K) [/mm] = 28,56 J
So jetzt würde ich sagen:
[mm] E_{therm}= E_{elektr.}(t)
[/mm]
[mm] E_{therm}= [/mm] 1/2*C*U²
mit U = R I
[mm] E_{therm}= [/mm] 1/2*C*(R*I(t))²
[mm] E_{therm}= [/mm] 1/2*C*(R*(U/R [mm] *e^{-t/RC})²
[/mm]
Nach t umgestellt:
t= [mm] ln(\bruch{(2E_{therm})}{C}^{1/2} [/mm] /U)*(-RC)
t =6,13217s
Das ist aber falsch laut Lösung
Wo ist mein Denk- oder Rechenfehler?
LG
Stevie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 28.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo StevieG,
ein Draht mit einem Durchmesser von 0,1mm kann keine Querschnittsfläche mit einem Exponenten von 9 zur Folge haben. Alle anderen Zahlen können demzufolge auch nicht stimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 28.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der Potenz zum Drahtvolumen fehlt wohl ein Minuszeichen. Beim Berechnen der thermischen Energie komme ich jedoch auf einen geringfügig anderen Wert von 28,65 J, falls die anderen Angaben stimmen. Um wieviel liegst Du denn daneben?
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 28.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
beim Einsetzen der quadratischen Spannung ist die Zweierpotenz beim weiteren Bearbeiten verlorengegangen, denn es gilt doch
$ [mm] U^2 [/mm] = [mm] R^2 \cdot I^2 [/mm] $
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
ja der Exponent ist -9.
Das Quadrat habe ich ja berücksichtigt, deswegen is bei der Umformung ja der eine Teil in einer Wurzel.
laut Lösung t= [mm] 9,27*10^{-7}s [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
[mm] E_{therm}=\bruch{1}{2}C [/mm] U²
[mm] 2E_{therm}=C [/mm] U²
[mm] \bruch{2E_{therm}}{C}=U²
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} [/mm] = U
[mm] \wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} [/mm] = R I
[mm] \bruch{\wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} }{R} [/mm] = I
I(t) [mm] =\bruch{U}{R}e^{-\bruch{t}{RC}}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} }{R} [/mm] = [mm] \bruch{U}{R}e^{-\bruch{t}{RC}}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} }{U} =e^{-\bruch{t}{RC}}
[/mm]
[mm] ln(\bruch{\wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} }{U})=-\bruch{t}{RC}
[/mm]
t= [mm] ln(\bruch{\wurzel{\bruch{2E_{therm}}{C}} }{U})(-RC)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
in der dritten Zeile habe ich das quadrat vergessen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 28.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]E_{therm}=\bruch{1}{2}C[/mm] U²
Das ist falsch! Der kondensator wird von [mm] U_0 [/mm] auf U(t) entladen. und gibt dabei nicht [mm] C*U^2 [/mm] ab!
du hast also
[mm] $E_{therm}=\bruch{1}{2}C* (U_0^2-U(t)^2)$
[/mm]
daraus U(t) dann aus U(t)=... t bestimmen.
das gibt dasselbe Ergebnis wie P(t) zu integrieren. ich find es so einfacher
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
Ah ok, dh die Spannung und Stromstärke verschwindet und deswegen müsste man eine Funktion der Spannung mit einbauen. Bei mir war die Spannung konstant.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 28.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ah ok, dh die Spannung und Stromstärke verschwindet
wieso verschwinden sie? sicher nicht!
Du kennst doch U(t) bei der Entladung? das geht nur für t gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0, ebenso wie I
natürlich bleibt der kondensator geladen, wenn dr Draht durchschmilzt.
nochmal : Am Anfang hat dein Kond. die angegebene Spannung [mm] U_0 [/mm] und damit die Energie [mm] C/2*U_0^2 [/mm] Dann lentläd er sich über den Draht und heizt den dabei auf, die Spannung sinkt, bis der Draht durchschmilzt. im Kond verbleibt die zu diesem Zeitpunkt herrschende Spannung. Also wurde an den Draht [mm] C/2*(U_0^2-U^2(t_s)) [/mm] abgegeben
>und
> deswegen müsste man eine Funktion der Spannung mit
> einbauen. Bei mir war die Spannung konstant.
Das ist schon schlimm, woher sollte denn dann die Energie kommen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
Daran merkst du das ich mir das Ganze null vorstellen kann :-(
[mm] U_{0} -U_{0}e^{-t/RC} [/mm] ?
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Hallo StevieG,
> Daran merkst du das ich mir das Ganze null vorstellen kann
> :-(
>
>
> [mm]U_{0} -U_{0}e^{-t/RC}[/mm] ?
Die Spannung zum Zeitpunkt t ist nach wie vor
[mm]U\left(t\right)=U_{0}e^{-t/RC}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 29.08.2011 | | Autor: | StevieG |
der Zeitliche Verlauf der Spannung am Kondensator wird beschrieben durch:
[mm] u_{c}=U_{0}-U_{0}e^{-t/RC}
[/mm]
Müsste es dann nicht heissen:
[mm] E_{therm}=1/2 [/mm] C [mm] (U_{0}-U_{0}e^{-t/RC})^{2}
[/mm]
die Formel von leduard kann ich irgend wie nicht nach t auflösen?
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Hallo!
Neee, es stand ja oben schon, daß das nicht korrekt ist. Bei t=0 ist ja noch die volle Spannung vorhanden, also [mm] U_C(0)=U_0*e^{-0/(RC)}=U_0 [/mm] .
Da du schreibst, daß du das ganze über Integralrechnung machen sollst:
Zum Zeitpunkt t=0 hast du eine Spannung [mm] U_C=U_0 [/mm] . Welcher Strom fließt bei der Spannung durch den Draht? Demzufolge, welche Leistung wird im Draht verbraten?
Dieser Wert für die Leistung gilt ja nur für nen winzigen Moment dt, denn danach ändert sich ja die Spannung, und damit Strom und Leistung.
Aber: Wie groß ist denn die Energie dE , die in diesem kurzen Moment in den Draht gesteckt wird, und diesen erhitzt?
Jetzt mußt du diese Energien für fortschreitende Zeit, und damit für die sich ändernde Spannung aufaddieren. Das ist aber genau das, was ein Integral für dich erledigt. Die Frage ist, bis wo hin mußt du integrieren, bis die Energie zum Schmelzen des Drahtes reicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 29.08.2011 | | Autor: | StevieG |
Ich möchte Integralrechnung vermeiden und nur durch einsetzen in die Gleichung und Umformen auf t kommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 29.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo StevieG,
mit der Gleichung von Mathepower kennst Du doch den zeitlichen Verlauf der Spannung. Die dazugehörige Stromstärke bekommst Du auch, denn
[mm] I(t) = \bruch{U(t)}{R} [/mm]
Das Produkt aus I(t) und U(t) sagt Dir etwas über die Momentanleistung zum Zeitpunkt t aus. Die bis dahin verbrauchte Energie, mit deren Hilfe der Draht schmelzen soll, ist aber gerade das Integral vom Zeitpunkt 0 bis zu diesem Zeitpunkt t. Du bekommst also schon eine Integralgleichung, deren obere Grenze, der Zeitpunkt t, gerade so zu bestimmen ist, dass ca. 27 J im wahrsten Sinne des Wortes "verbraten" wurden.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mo 29.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne Integral:
1. Schritt [mm] W_{therm}=C/2*(U_0^2-U^2) [/mm] daraus [mm] U^2=... [/mm] da C und [mm] U_0 [/mm] gegeben
2. Schritt U aus 1 (inV) [mm] U=U_0*e^{-t/RC} [/mm] nach t auflösen!
Dass sich ein Kondensator langsam entläd, und dabei Energie verliert sollte doch keine sooo schwierige Vorstellung sein?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 28.08.2011 | | Autor: | StevieG |
in der Lösung haben sie das so berechnet:
[mm] m*c*\DeltaT [/mm] = Integral (o bis t) P(t´)dt´
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