Kompositionsreihe Auflösbarkei < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 04.09.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Sei G endlich [mm] \{e\}=G_n \unlhd G_{n-1}\unlhd...\unlhd G_0=G [/mm] eine Kompositionsreihe, dann ist G genau dann auflösbar, wenn [mm] |(G_i /G_{i+1})|=p_i [/mm] mit [mm] p\in\IP \forall [/mm] i |
Nun, Kompositionsreihe bedeutet, dass [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] einfach ist, also besitzt [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] nur die trivialen Normalteiler {e} und [mm] G_i/G_{i+1}
[/mm]
Diese Eigenschaft trifft nur für Primzahlen zu, und damit bin ich fertig oder?
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> Sei G endlich [mm]\{e\}=G_n \unlhd G_{n-1}\unlhd...\unlhd G_0=G[/mm]
> eine Kompositionsreihe, dann ist G genau dann auflösbar,
> wenn [mm]|(G_i /G_{i+1})|=p_i[/mm] mit [mm]p\in\IP \forall[/mm] i
> Nun, Kompositionsreihe bedeutet, dass [mm]G_i/G_{i+1}[/mm] einfach
> ist, also besitzt [mm]G_i/G_{i+1}[/mm] nur die trivialen
> Normalteiler {e} und [mm]G_i/G_{i+1}[/mm]
>
> Diese Eigenschaft trifft nur für Primzahlen zu, und damit
> bin ich fertig oder?
Huch, wo hast du das denn her?
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Hier hast du genug Beispiele von einfachen Gruppen, die keine Primzahlordnung haben und dennoch endlich sind...
Also guck nochmal genau nach wo du diesen Satz her hast...
Ist $G$ Abelsch so könnte ich ihn dir vielleicht sogar glauben, aber für eine beliebige Gruppe $G$ nunmal leider nicht.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:38 Do 06.09.2012 | | Autor: | Lonpos |
Also ist die Aufgabenstellung falsch, wenn ich das nun richtig gesehen habe?
Jede endliche Gruppe besitzt doch eine Kompositionsreihe (Beweis nicht schwer), für eine endliche Gruppe gilt dann (sogar für unendliche), dass je zwei Kompositionsreihen äquivalent sind.
Auflösbar heißt G, wenn es Untergruppen [mm] G_i [/mm] <= G gibt mit [mm] \{1\}=G_n \unlhd G_{n-1}\unlhd...\unlhd G_0=G [/mm] , [mm] G_i/G_{i+1} [/mm] kommutativ
Was müsste an [mm] |(G_i /G_{i+1})|=p_i [/mm] geändert werden, damit sie richtig ist?
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Die Aufgabenstellung mag stimmen, das kann ich dir nicht sagen (deshalb lass ich die Frage mal offen).
Alles was falsch war war deine Folgerung "einfach [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Primzahlordnung".
Es kann aber durchaus gut sein, dass sich der Satz auf andere Art und Weise zeigen lässt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:34 Fr 07.09.2012 | | Autor: | hippias |
Die Aufgabenstellung ist korrekt. Beachte vor allen Dingen, dass Du zwei Behauptungen beweisen musst: 1. Wenn $G$ aufloesbar ist, dann hat $G$ eine Kompositionsreihe mit obigen Eigenschaften
2. Wenn $G$ eine obige Kompositionsreihe besitzt, dann ist $G$ aufloesbar.
Bei 1. wuerde ich von einer beliebigen Komp.reihe ausgehen und nachweisen, dass die die geforderten EIgenschaften haben muss. Bei 2. vermutlich Induktion nach der Laenge der Reihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 08.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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