Kompositionen von Abbildungen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 05.11.2006 | | Autor: | Wishi |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen: dabei seien f: X -> Y, g: Y-> Z Abbildungen. Dann gilt:
1.) [mm]g o f injektiv => f injektiv; g o f surjektiv => g surjektiv[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Ich bin neu hier, hallo!
Ich hab von meinem Matheprof die obrige Aufgabe bekommen und es geht letztendlich bei 1.) ja nur um einen Beweis, dass bei Kompositionen gilt:
g o f injektiv, so ist f injektiv.
g o f surjektiv, so ist g surjektiv
Ich kenne auch die Definitionen zu dem Thema. Nur mir fällt rein gar nicht ein, wie man so was "beweisen" soll. Wenn da jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung für mich über hätte... wär das toll.
Danke im Voraus,
Wishi
p.s.: Und warum heißt das g o f und nicht f o g?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 So 05.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> p.s.: Und warum heißt das g o f und nicht f o g?
nun ja, also f ist eine Abbildung von X nach Y und g eine von Y nach X,
wenn man f°g=f(g(..)) schreiben würde, würde f als Werte das Bild von g bekommen, also einträge aus Z, aber f ist gar nicht für Werte aus Z definiert, deshalb ergibt nur g°f einen sinn.
> g o f injektiv, so ist f injektiv.
also solche beweise laufen im Grunde immer gleich:
sei g°f injektiv, angenommen f ist NICHT injektiv, d.h. es gibt [mm] $x\not= [/mm] x'$ mit f(x)=f(x') .... warum erhält man dann einen Widerspruch, wenn man sich (g°f)(x)=g(f(x)) und (g°f)(x')=g(f(x')) ansieht ?!?
> g o f surjektiv, so ist g surjektiv.
hier versuchst du dich am besten erstmal allein...
was heißt es, wenn g NICHT surjektiv wäre, welche Auswirkung hätte das auf die Komposition ?
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Wishi |
| Aufgabe | | f, g bijektiv => g o f bijektiv, [mm](g o f)^-1[/mm]=[mm](f^-1) o (g^-1)[/mm] |
Also das ist dann ja ein sogenannter indirekter Beweis. Vielen Dank, denn ich hätte nie die mathematische Phantasie gehabt, so vorzugehen. Das hab ich jetzt sogar verstanden. :) Die Erklärung ist sehr gut.
Mathe ist ja ein Handwerk, wie mir immer wieder gesagt wird.
Bin ja froh, dass das Beweisen hier nur als Fingerübung für die Definitionen gilt und ich kein Mathe studieren brauch.
Kann man die obrige Aufgabe auch indirekt beweisen? Ich frag das mal ganz blöd in den Raum, weil mir Beweisen gar nicht liegt. Ich habe da irgendwie keinen Ansatz, der das beweist - dummerweise weiß ich, dass das so sein muss die "hoch -1" Funktionen ja nur auf das jeweilige Urbild verweisen... ?
Gruß,
Wishi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Mo 06.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Mathe ist ja ein Handwerk, wie mir immer wieder gesagt
> wird.
Das ist ein ziemlich gewaagte Aussage in DIESEM Forum !
Soll das etwa heißen, dass ich dann dein Handwerker wäre, den man rufen kann, wenn was kaputt ist (wie einen Dachdecker o.ä)?!?
Also ich sehe Mathematik vielmehr als Kunst, wo man viel Konzentration und Intuition haben muss und die Physiker (u.ä.) sind die handwerker, die sich ein bischen was aus der Spielkiste nehmen können...
(Aber ich weiß, dass es darüber gegensätzliche Meinungen gibt...)
> Bin ja froh, dass das Beweisen hier nur als Fingerübung für
> die Definitionen gilt und ich kein Mathe studieren brauch.
Genau, schöne Fingerübung für dich, also um die Frage zu beantworten : ja, man kann es indirekt beweisen - viel Spaß.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Wishi |
Wer sagt denn, dass ein Handwerk keine Kunst ist?
Spaß - ist was anderes^^.
Gruß,
Wishi
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