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Hey leute,
habe ma so ne grundsätzliche Frage zu Kompostition von Permutation zum Beispiel an einerm Tetraeder. Ich verstehe nämlich die Hintereinanderausführung von solchen Kompositionen net z.B. (134)(124)=(234) oder (13)(12)=(132)...wie kommt man darauf? ...Und dann stelle ich mir die Frage wie dies Geomertisch aussieht.. die beiden dreier Kompositionen denke ich sind 2 drehungen und die beiden zweier Kompositionen sind Spiegelungen in dem 13 fest bleibt und 24 vertauscht wird und danach 12 fest bleibt und 34 vertauchst wird ...stimmt diese überlegung...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir bitte jemand dabei Helfen?
lg Wurzel_Pi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 03.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Ich verstehe
> nämlich die Hintereinanderausführung von solchen
> Kompositionen net z.B. (134)(124)=(234) oder
> (13)(12)=(132)...wie kommt man darauf?
Du meinst bestimmt die Hintereinanderausführung von Permutationen 
Ich habe mich auch gerade mit diesem Thema beschäftigt.
Hmm, was ist das für eine Schreibweise für die Permutation?
Ist das Zykelschreibweise?
Und wieviele Elemente haben die einzelnen Permutationen?
LG, Nadine
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Hallo
> Hey leute,
> habe ma so ne grundsätzliche Frage zu Kompostition von
> Permutation zum Beispiel an einerm Tetraeder. Ich verstehe
> nämlich die Hintereinanderausführung von solchen
> Kompositionen net z.B. (134)(124)=(234) oder
> (13)(12)=(132)...wie kommt man darauf?
Ich mache mal das Beispiel [mm] (134)\circ(124). [/mm] Es ist eine Komposition, also wird zuerst die Rechte Permutation ausgeführt.
Die 1 geht auf die 2. In der ersten Klammer steht keine 2, somit fertig.
Dann, die 2 geht auf die 4, in der ersten Klammer geht die 4 auf die 1.. also geht die 2 auf die 1.
Dann, die 4 geht auf die 1, in der ersten Klammer geht die 1 auf die 3.. also geht die 4 auf die 3.
Und dann noch am schluss, die 3 kommt in der zweiten Klammer nicht vor, geht somit auf sich selbst. In der ersten Klammer aber geht die 3 auf die 4. Somit hast du 1 -> 2, 2 -> 1, 3 -> 4, 4 -> 3. Das ergibt dir:
[mm] (134)\circ(124) [/mm] = (12)(34)
Versuchs mal an deinem zweiten Beispiel :)
Grüsse, Amaro
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hey erst ma herzlichen dank!!
also habe ich das richtig verstanden,wenn zum beispiel:
(145)(134) also die 1-->3-->4-->5-->1 somit ist (15) das ergebnis?
viele grüße wurzel_pi
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Hallo
> hey erst ma herzlichen dank!!
>
> also habe ich das richtig verstanden,wenn zum beispiel:
> (145)(134) also die 1-->3-->4-->5-->1 somit ist (15) das
> ergebnis?
Nee, nicht ganz..
(145)(134) = ?
Also, wir starten in der zweiten Klammer. Die 1 geht auf die 3. Jetzt betrachten wir die erste Klammer.. die 3 wird festgelassen, also geht 1 --> 3.
Jetzt betrachten wir die 3 in der zweiten Klammer. Die geht auf die 4, welche in der ersten Klammer auf die 5 geht. Also 3 --> 5.
Jetzt sind wir bei der 5. Die wird in der zweiten Klammer festgelassen, in der ersten auf die 1. Also 5 --> 1.
Somit sind wir fertig und (145)(134) = (135)
>
> viele grüße wurzel_pi
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Mi 11.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Somit sind wir fertig und (145)(134) = (135)
Vielleicht sollte man der Genauigkeit halber und aus didaktischen Gründen sagen und hinschreiben, daß man auch noch 2 und 4 betrachten muß.
2 kommt gar nicht vor, und 4 --> 1 --> 4, also
(145)(134) = (135)(2)(4)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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hey leute, ich dachte ich habs verstanden, aber nach en paar tagen ^^ habe ich schon wieder fragen dazu...
>
>(145)(134) = ?
>
>Also, wir starten in der zweiten Klammer. Die 1 geht auf die 3. Jetzt >betrachten wir die erste Klammer.. die 3 wird festgelassen, also geht >1 --> 3.
>Jetzt betrachten wir die 3 in der zweiten Klammer. Die geht auf die >4, welche in der ersten Klammer auf die 5 geht. Also 3 --> 5.
>Jetzt sind wir bei der 5. Die wird in der zweiten Klammer >festgelassen, in der ersten auf die 1. Also 5 --> 1.
>
>Somit sind wir fertig und (145)(134) = (135)
>
>
> viele grüße wurzel_pi
warum startet man in der 2. Klammer...kann es damit zusammenhängen, dass 3<4 ist?
wird die 3 dann festgelassen, wenn Sie in der ersten Klammer nicht vorkommt?
also (245)(134)=(132)....oder muss die 5 noch berücksichtigt werden?
herzlichen Dank für eure Info
Wurzel_pi
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Hallo [mm] \sqrt{\pi},
[/mm]
>
> warum startet man in der 2. Klammer...kann es damit
> zusammenhängen, dass 3<4 ist?
Nein, die Verkettung von Permutationen ist doch nichts anderes als die Verknüpfung von zwei (bijektiven) Funktionen [mm] $f\circ [/mm] g$
Dabei wird erst g, dann f ausgeführt.
> wird die 3 dann festgelassen, wenn Sie in der ersten
> Klammer nicht vorkommt?
Ja
>
> also (245)(134)=(132) ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du darauf? Wie immer in der hinteren Klammer angefangen, ist:
[mm] $1\mapsto 3\mapsto [/mm] 3$
[mm] $2\mapsto 2\mapsto [/mm] 4$
[mm] $3\mapsto 4\mapsto [/mm] 5$
[mm] $4\mapsto 1\mapsto [/mm] 1$
[mm] $5\mapsto 5\mapsto [/mm] 2$
Wie sieht also der "Ergebniszykel" aus?
> ....oder muss die 5 noch
> berücksichtigt werden?
>
> herzlichen Dank für eure Info
>
> Wurzel_pi
>
>
Gruß
schachuzipus
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hey schachuzipus,
die Zyklen, die du aufgeschrieben hast habe ich verstanden...ich kann aber irgendwie nicht den ergebniszylklus von
(245)(134) finden. Das mit dem festhalten habe ich verstanden. Kannst du mir bitte noch einen Tipp geben.
>
> [mm]1\mapsto 3\mapsto 3[/mm]
> [mm]2\mapsto 2\mapsto 4[/mm]
> [mm]3\mapsto 4\mapsto 5[/mm]
>
> [mm]4\mapsto 1\mapsto 1[/mm]
> [mm]5\mapsto 5\mapsto 2[/mm]
>
> Wie sieht also der "Ergebniszykel" aus?
>
glg Wurzel_pi
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Hallo nochmal,
> hey schachuzipus,
> die Zyklen, die du aufgeschrieben hast habe ich
> verstanden...ich kann aber irgendwie nicht den
> ergebniszylklus von
> (245)(134) finden. Das mit dem festhalten habe ich
> verstanden. Kannst du mir bitte noch einen Tipp geben.
Das steht doch in der Abbildung, ich habe es doch explizit hingeschrieben.
Elemente, die festgelassen werden, schreiben wir nicht auf, ansonsten schreiben wir - beginnend mit 1 - das jeweilige Zielelement rechts daneben:
>
> >
> > [mm] $\red{1}\mapsto 3\mapsto \red{3}
[/mm]
> > [mm]2\mapsto 2\mapsto 4[/mm]
> > [mm] $\red{3}\mapsto 4\mapsto \blue{5}$
[/mm]
>
> >
> > [mm]4\mapsto 1\mapsto 1[/mm]
> > [mm] $\blue{5}\mapsto 5\mapsto \green{2}$
[/mm]
> >
> > Wie sieht also der "Ergebniszykel" aus?
Es fängt so an: [mm] $\left(\red{1 \ 3} \ \blue{5} \ \green{2} ...\right)$
[/mm]
Kannst du den Zykel nun vervollständigen?
> >
>
> glg Wurzel_pi
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Wurzel_Pi |
hey schachuzipus, ist das ergebnis dann
[mm]\left(\red{1 \ 3} \ \blue{5} \ \green{2} \ \black{4} \right)[/mm]...wenn es stimmt kannst du mir bitte noch mal eine aufgabe stellen, dass ich sehe ob ichs wirklich verstanden habe?
glg wurzel_pi
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Hey Leute,
kannn hier noch ma jdm. schauen ob es stimmt?
[mm]\left(\red{1 \ 3} \ \blue{5} \ \green{2} \ \black{4} \right)[/mm]
....aufgabe s.o.
glg wurzel_pi
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> Hey Leute,
> kannn hier noch ma jdm. schauen ob es stimmt?
>
> [mm]\left(\red{1 \ 3} \ \blue{5} \ \green{2} \ \black{4} \right)[/mm]
>
> ....aufgabe s.o.
>
> glg wurzel_pi
Ja, das stimmt. Du wolltest noch ein Beispiel. Ich
gebe dir drei:
(152)(32)(453)
(123)(234)(345)(451)
(LENA)(LUCA)(NICO)
LG Al-Chw.
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hey leute,
sagt mal stimmt das ergebins?
(152)(32)(453)=(1)(5)(24)(3)(4)
(123)(234)(345)(451) =(1)(21)(3)(4)(5234)
(LENA)(LUCA)(NICO)=(LUO)...
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> hey leute,
>
>
> sagt mal stimmt das ergebins?
>
> (152)(32)(453)=(1)(5)(24)(3)(4)
>
> (123)(234)(345)(451) =(1)(21)(3)(4)(5234)
>
> (LENA)(LUCA)(NICO)=(LUO)...
>
Guten Abend [mm] \sqrt{\pi} [/mm] !
ich habe ziemlich andere Ergebnisse. Nehmen wir mal
das erste Beispiel.
$\ (152)(32)(453)\ =\ ?$
Wir können z.B. mit der 1 beginnen. Im hintersten
(ersten !) und dem mittleren (zweiten) Zyklus tritt sie
gar nicht auf und wird von diesen also unverändert
gelassen. Kommt noch der vorderste Zyklus (152).
Dieser macht aus der 1 eine 5. Damit haben wir den
Anfang:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15.....)(....)$
Nun müssen wir schauen, was aus der 5 wird. Der
hinterste Zyklus macht aus der 5 eine 3, aus dieser
wird im mittleren Zyklus (32) eine 2 und aus dieser
schließlich im vordersten Zyklus (152) wieder eine 1.
Damit schließt sich der angefangene Zyklus (15.....)
zu (15) und wir haben:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15)(....)$
Nun betrachten wir die nächste Ziffer, die noch nicht
dran gekommen ist, also die 2:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15)(2....)$
Was wird aus der 2 ?
Im hintersten Zyklus kommt sie nicht vor. Der mittlere,
also (32), macht aus der 2 eine 3, und diese wird vom
vorderen Zyklus (152) unberührt gelassen. Damit
haben wir:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15)(23....)$
Aus der 3 wird (durch den hintersten Zyklus (453)
eine 4, welche nachher stehen bleibt:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15)(234....)$
Aus der 4 wird durch (453) eine 5, diese wird durch
(32) nicht verändert, aber schließlich macht (152)
aus dieser 5 eine 2, womit sich der zweite Zyklus des
Ergebnisses schließt:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (15)(234)$
Natürlich könnte man dieses Ergebnis auch in anderen
Formen darstellen, zum Beispiel:
$\ (152)(32)(453)\ =\ (423)(51)$
LG Al-Chw.
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Hey danke für die schnelle antwort...
ich verstehe es aber immer noch net:(....wann schreibt man denn die zahlen auf?
zum beispiel die (234)
..könnt ihr mir mal bitte 1-2 regeln nennen?...die man immer anwenden kann?
ganz herzlichen dank viele grüße wurzel_pi
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> Hey danke für die schnelle antwort...
>
> ich verstehe es aber immer noch net:(....wann schreibt man
> denn die zahlen auf?
>
> zum beispiel die (234)
>
> ..könnt ihr mir mal bitte 1-2 regeln nennen?...die man
> immer anwenden kann?
>
> ganz herzlichen dank viele grüße wurzel_pi
Hallo,
ich denke, es geht in erster Linie darum, dass du
die Schreibweisen richtig verstehst. Bezogen etwa
auf die Grundmenge [mm] G=\{1,2,3,4,5\} [/mm] ist der Zyklus
z=(234) die Abbildung von G auf G mit
z(1)=1
z(2)=3
z(3)=4
z(4)=2
z(5)=5
Für p=(134) ist:
p(1)=3
p(2)=2
p(3)=4
p(4)=1
p(5)=5
Für q=(124) ist:
q(1)=2
q(2)=4
q(3)=3
q(4)=1
q(5)=5
Ist nun etwa [mm] p\circ{q} [/mm] gefragt, so ist [mm] (p\circ{q})\,(x)=p(q(x)) [/mm] für jedes [mm] x\in [/mm] G, also:
[mm] $(p\circ{q})\,(1)\ [/mm] =\ p(q(1))\ =\ p(2)\ =\ 2$
[mm] $(p\circ{q})\,(2)\ [/mm] =\ p(q(2))\ =\ p(4)\ =\ 1$
[mm] $(p\circ{q})\,(3)\ [/mm] =\ p(q(3))\ =\ p(3)\ =\ 4$
[mm] $(p\circ{q})\,(4)\ [/mm] =\ p(q(4))\ =\ p(1)\ =\ 3$
[mm] $(p\circ{q})\,(5)\ [/mm] =\ p(q(5))\ =\ p(5)\ =\ 5$
Betrachtet man nun die entstandene Permutation
[mm] t=p\circ{q} [/mm] , so stellt man fest: t lässt die 5 unberührt
und vertauscht die 1 mit der 2 sowie die 3 mit der 4.
Man kann t also z.B. schreiben als:
$\ t\ =\ [mm] p\circ{q}\ [/mm] =\ (12)(34)$
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Hallo,
ich weiß, die Frage liegt schon lange zurück... ich habe versucht, die Aufgaben zu lösen, die oben gestellt wurden:
Dass (152)(32)(453) = (15)(234) ist, leuchtet mir ein...
Aber wie ist es bei dem Beispiel darunter:
(123)(234)(345)(451) ?
Ich habe mir jetzt gedacht:
Ich fange mit der 1 ein. In der letzten Klammer geht diese auf die 4, in der drittenklammer geht die 4 auf die 5 und in der letzten klammer geht diese auf die 1, also müsste mein erstes "Ergebis doch sein:
(14)(...
Dann habe ich gedacht, schaue ich mir die 2 an:
in der zweiten klammer auf die 3, die 3 in der dritten klammer auf die 4, die 4 in der letzten klammer auf die 5, die 5 in der dritten klammer auf die 3...
was ist denn dann mein nächstes ergebnis?
(14)(2345) ?
Gibt es da eine bestimmte reihenfolge, die ich beachten muss?
Danke,
Tin-Chen
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> Hallo,
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> ich weiß, die Frage liegt schon lange zurück... ich habe
> versucht, die Aufgaben zu lösen, die oben gestellt
> wurden:
> Dass (152)(32)(453) = (15)(234) ist, leuchtet mir ein...
> Aber wie ist es bei dem Beispiel darunter:
> (123)(234)(345)(451) ?
> Ich habe mir jetzt gedacht:
> Ich fange mit der 1 ein. In der letzten Klammer geht diese
> auf die 4, in der drittenklammer geht die 4 auf die 5 und
> in der letzten klammer geht diese auf die 1, also müsste
> mein erstes "Ergebis doch sein:
> (14)(...
> Dann habe ich gedacht, schaue ich mir die 2 an:
> in der zweiten klammer auf die 3, die 3 in der dritten
> klammer auf die 4, die 4 in der letzten klammer auf die 5,
> die 5 in der dritten klammer auf die 3...
> was ist denn dann mein nächstes ergebnis?
> (14)(2345) ?
> Gibt es da eine bestimmte reihenfolge, die ich beachten
> muss?
> Danke,
> Tin-Chen
Hallo Tin-Chen,
die Reihenfolge des Einsetzens in die einzelnen Zyklen
geht stets nur von rechts nach links, nie wieder zurück
nach rechts !
Willst du also die 1 der gesamten Abbildung
p=(123)(234)(345)(451)
unterwerfen, wird diese zunächst durch (451) auf 4 abge-
bildet. Dann macht (345) aus der 4 eine 5. Diese bleibt,
in (234) eingesetzt, unverändert, da die 5 ja in (234)
gar nicht vorkommt. Auch der vorderste Zyklus (123)
ändert daran nichts mehr. Also haben wir p(1)=5 .
Insgesamt ergibt sich:
[mm] (123)(234)(345)(451)=\pmat{1&2&3&4&5\\5&1&3&4&2}=(152)(3)(4)=(152)
[/mm]
LG Al-Chw.
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