Komposition messbarer Fkt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich soll folgende Aussage zeigen:
Es gibt f, g [mm] \in M(\IR) [/mm] mit f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not\in M(\IR).
[/mm]
[mm] M(\IR) [/mm] ist die Menge der messbaren Funktionen.
Ich war zunächst ein wenig verwirrt, da wir in der Stochastik gelernt haben, dass die Komposition messbarer Funktionen messbar ist. Vermutlich liegt dieser Unterschied aber in der unterschiedlichen Definition von Messbarkeit?
Jedenfalls suche ich nun ein Beispiel, dass die Aussage stützt, denn damit ist sie ja gezeigt, oder sehe ich das falsch?
Allerdings weiß ich nicht wirklich wie ich mir ein solches Beispiel konstruiere bzw. ich bekomme es einfach nicht hin...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Danke schonmal im Voraus!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 24.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich soll folgende Aussage zeigen:
>
> Es gibt f, g [mm]\in M(\IR)[/mm] mit f [mm]\circ[/mm] g [mm]\not\in M(\IR).[/mm]
Solche Funtionen gibt es nicht.
>
> [mm]M(\IR)[/mm] ist die Menge der messbaren Funktionen.
> Ich war zunächst ein wenig verwirrt, da wir in der
> Stochastik gelernt haben, dass die Komposition messbarer
> Funktionen messbar ist.
Eben !
> Vermutlich liegt dieser Unterschied
> aber in der unterschiedlichen Definition von Messbarkeit?
So, welchen komischen Begriff von Messbarkeit hattet Ihr denn ?
FRED
>
> Jedenfalls suche ich nun ein Beispiel, dass die Aussage
> stützt, denn damit ist sie ja gezeigt, oder sehe ich das
> falsch?
>
> Allerdings weiß ich nicht wirklich wie ich mir ein solches
> Beispiel konstruiere bzw. ich bekomme es einfach nicht
> hin...
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte!
>
> Danke schonmal im Voraus!
>
> LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich soll folgende Aussage zeigen:
> >
> > Es gibt f, g [mm]\in M(\IR)[/mm] mit f [mm]\circ[/mm] g [mm]\not\in M(\IR).[/mm]
>
> Solche Funtionen gibt es nicht.
>
>
> >
> > [mm]M(\IR)[/mm] ist die Menge der messbaren Funktionen.
> > Ich war zunächst ein wenig verwirrt, da wir in der
> > Stochastik gelernt haben, dass die Komposition messbarer
> > Funktionen messbar ist.
>
>
> Eben !
>
> > Vermutlich liegt dieser Unterschied
> > aber in der unterschiedlichen Definition von Messbarkeit?
>
> So, welchen komischen Begriff von Messbarkeit hattet Ihr
> denn ?
Wir hatten folgende Definitionen:
Eine Menge M [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt Lebesgue-messbar oder einfach messbar oder eine Lebesgue-Borelsche Menge, wenn für alle R [mm] \subset \IR^n [/mm] gilt
[mm] \lambda^{\*} [/mm] (R) [mm] \ge \lambda^{\*} [/mm] (R [mm] \cap [/mm] M)+ [mm] \lambda^{\*}(R \cap M^C). [/mm]
Des Weiteren hatten wir für Funktionen die Definition:
Eine Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] heißt messbar, wenn [mm] f^{-1}(I) [/mm] für jedes Intervall I [mm] \subset \IR [/mm] eine messbare Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] ist.
Und dann noch für numerische Funktionen:
Eine numerische Funktion ist eine Abbildung [mm] f:\IR^n \to \overline{\IR}. [/mm] Eine numerische Funktion f heißt messbar, wenn [mm] f^{-1}(I) \in [/mm] B für jedes Intervall I [mm] $\subset \overline{\IR}.
[/mm]
>
> FRED
> >
> > Jedenfalls suche ich nun ein Beispiel, dass die Aussage
> > stützt, denn damit ist sie ja gezeigt, oder sehe ich das
> > falsch?
> >
> > Allerdings weiß ich nicht wirklich wie ich mir ein solches
> > Beispiel konstruiere bzw. ich bekomme es einfach nicht
> > hin...
> >
> > Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> > könnte!
> >
> > Danke schonmal im Voraus!
> >
> > LG
> >
> >
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Hiho,
> Wir hatten folgende Definitionen:
> Eine Menge M [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt Lebesgue-messbar oder
> einfach messbar oder eine Lebesgue-Borelsche Menge, wenn
> für alle R [mm]\subset \IR^n[/mm] gilt
> [mm]\lambda^{\*}[/mm] (R) [mm]\ge \lambda^{\*}[/mm] (R [mm]\cap[/mm] M)+
> [mm]\lambda^{\*}(R \cap M^C).[/mm]
Ja, das ist Lebesgue-Meßbarkeit.
> Des Weiteren hatten wir für Funktionen die Definition:
> Eine Funktion f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] heißt messbar, wenn
> [mm]f^{-1}(I)[/mm] für jedes Intervall I [mm]\subset \IR[/mm] eine
> messbare Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist.
Ja, also ist sie dann Lebesgue-Borel-meßbar.
> Und dann noch für numerische Funktionen:
> Eine numerische Funktion ist eine Abbildung [mm]f:\IR^n \to \overline{\IR}.[/mm]
> Eine numerische Funktion f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I) \in[/mm]
> B für jedes Intervall I [mm]$\subset \overline{\IR}.[/mm]
Auch wenn hier gar nicht klar ist, was du mit "B" meinst, orakel ich mal, dass das die Borel-Mengen sein sollen.
Also beschreibst du hier die Borel-Borel-Meßbarkeit.
Ist dir der Unterschied zwischen den beiden Definitionen klar?
Folgt eins aus dem anderen?
Gilt auch die Rückrichtung?
So, und wenn dir der Unterschied zwischen den beiden klar ist, versuch mal herauszufinden, warum Kompositionen von Borel-Borel-meßbaren Funktionen wieder meßbar sind, von Lebesgue-Borel-meßbaren aber nicht notwendigerweise.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > Wir hatten folgende Definitionen:
> > Eine Menge M [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt Lebesgue-messbar
> oder
> > einfach messbar oder eine Lebesgue-Borelsche Menge, wenn
> > für alle R [mm]\subset \IR^n[/mm] gilt
> > [mm]\lambda^{\*}[/mm] (R) [mm]\ge \lambda^{\*}[/mm] (R [mm]\cap[/mm] M)+
> > [mm]\lambda^{\*}(R \cap M^C).[/mm]
>
> Ja, das ist Lebesgue-Meßbarkeit.
>
> > Des Weiteren hatten wir für Funktionen die Definition:
> > Eine Funktion f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] heißt messbar, wenn
> > [mm]f^{-1}(I)[/mm] für jedes Intervall I [mm]\subset \IR[/mm] eine
> > messbare Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist.
>
> Ja, also ist sie dann Lebesgue-Borel-meßbar.
>
> > Und dann noch für numerische Funktionen:
> > Eine numerische Funktion ist eine Abbildung [mm]f:\IR^n \to \overline{\IR}.[/mm]
> > Eine numerische Funktion f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I) \in[/mm]
> > B für jedes Intervall I [mm]$\subset \overline{\IR}.[/mm]
>
> Auch wenn hier gar nicht klar ist, was du mit "B" meinst,
> orakel ich mal, dass das die Borel-Mengen sein sollen.
Ja, ich denke das ist die Borel-Menge.
> Also beschreibst du hier die Borel-Borel-Meßbarkeit.
Wieder etwas Neues gelernt!
>
> Ist dir der Unterschied zwischen den beiden Definitionen
> klar?
Um ehrlich zu sein ist er mir nicht wirklich klar. Ich war bis gerade der Meinung, dass es unterschiedliche Definitionen sind, je nachdem, was ich nun betrachte (also ob Menge, Funktion, ...).
> Folgt eins aus dem anderen?
> Gilt auch die Rückrichtung?
Ich habe keine Ahnung ... :(
>
> So, und wenn dir der Unterschied zwischen den beiden klar
> ist, versuch mal herauszufinden, warum Kompositionen von
> Borel-Borel-meßbaren Funktionen wieder meßbar sind, von
> Lebesgue-Borel-meßbaren aber nicht notwendigerweise.
>
OK, Borel-Borel-messbar scheinen dann solche Funktionen zu sein, die ich in der Stochastik benutze...
Lebesgue-Borel-messbare dann wohl eher solche, die mir zurzeit in der Analysis begegnen...
Da diese Definition
Eine Funktion f: [mm]\IR^n \to \IR[/mm] heißt messbar, wenn
[mm]f^{-1}(I)[/mm] für jedes Intervall I [mm]\subset \IR[/mm] eine
messbare Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] ist.
deinen Worten nach die Lebesgue-Borel-Messbarkeit behandelt, werde ich wohl diese benötigen...?
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Um ehrlich zu sein ist er mir nicht wirklich klar. Ich war bis gerade der Meinung, dass es unterschiedliche Definitionen sind, je nachdem, was ich nun betrachte (also ob Menge, Funktion, ...).
ok, Grundlagen nacharbeiten:
1.) Gegeben sei ein Meßraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$. [/mm] Wann heißt eine Menge A meßbar?
2.) Gegeben sei eine Abbildung zwischen zwei Meßräumen [mm] $f:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Gamma,\mathcal{B})$
[/mm]
Wann heißt f nun meßbar?
Wovon hängt der Begriff "Meßbarkeit einer Funktion" denn nun also ab?
3.) Für deine stochastische Meßbarkeit setze [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm] = [mm] (\Gamma,\mathcal{B}) [/mm] = [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR))$
[/mm]
4.) Für deine aktuell in Analysis behandelten Funktionen setze
[mm] $(\Omega,\mathcal{A}) [/mm] = [mm] (\IR,\mathcal{L}(\IR))
[/mm]
[mm] (\Gamma,\mathcal{B}) [/mm] = [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR))$
[/mm]
5.) In welchem Zusammenhang stehen nun die Meßbarkeiten in 3.) und 4.). Folgt aus Meßbarkeit in 3.) die Meßbarkeit in 4.) oder umgekehrt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > Um ehrlich zu sein ist er mir nicht wirklich klar. Ich war
> bis gerade der Meinung, dass es unterschiedliche
> Definitionen sind, je nachdem, was ich nun betrachte (also
> ob Menge, Funktion, ...).
>
> ok, Grundlagen nacharbeiten:
Da fängt das Problem schon an. Das Skript gibt nicht wirklich viel her und ich finde, dass dort teilweise Dinge ungenau und vermischt sind.
Einen Messraum haben wir in Analysis zum Beispiel nicht kennengelernt...
Ich versuche mal deine Fragen so gut es geht zu bearbeiten.
>
> 1.) Gegeben sei ein Meßraum [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm]. Wann
> heißt eine Menge A meßbar?
Hier würde ich sagen, dass da folgende Definition angebracht ist:
Eine Menge A $ [mm] \subset \IR^n [/mm] $ heißt messbar, wenn für alle R $ [mm] \subset \IR^n [/mm] $ gilt
$ [mm] \lambda^{*} [/mm] $ (R) $ [mm] \ge \lambda^{*} [/mm] $ (R $ [mm] \cap [/mm] $ A)+ $ [mm] \lambda^{*}(R \cap A^C). [/mm] $
>
> 2.) Gegeben sei eine Abbildung zwischen zwei Meßräumen
> [mm]f:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Gamma,\mathcal{B})[/mm]
> Wann
> heißt f nun meßbar?
f heißt messbar, wenn $ [mm] f^{-1}(I) [/mm] $ für I $ [mm] \subset \Gamma [/mm] eine messbare Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] ist.
> Wovon hängt der Begriff "Meßbarkeit einer Funktion" denn
> nun also ab?
Von den Messräumen.
>
> 3.) Für deine stochastische Meßbarkeit setze
> [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm] = [mm](\Gamma,\mathcal{B})[/mm] =
> [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR))$[/mm]
>
> 4.) Für deine aktuell in Analysis behandelten Funktionen
> setze
> [mm]$(\Omega,\mathcal{A})[/mm] = [mm](\IR,\mathcal{L}(\IR))[/mm]
> [mm](\Gamma,\mathcal{B})[/mm] = [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR))$[/mm]
>
> 5.) In welchem Zusammenhang stehen nun die Meßbarkeiten in
> 3.) und 4.). Folgt aus Meßbarkeit in 3.) die Meßbarkeit
> in 4.) oder umgekehrt?
Ich würde sagen aus 4.) folgt 3.) da [mm] \mathcal{B} \subset \mathcal{L}. [/mm] Die Umkehrung dürfte daher i.A. nicht gelten.
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> > 1.) Gegeben sei ein Meßraum [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm]. Wann
> > heißt eine Menge A meßbar?
>
> Hier würde ich sagen, dass da folgende Definition angebracht ist:
> Eine Menge A [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt messbar, wenn für alle
> R [mm]\subset \IR^n[/mm] gilt
> [mm]\lambda^{*}[/mm] (R) [mm]\ge \lambda^{*}[/mm] (R [mm]\cap[/mm] A)+ [mm]\lambda^{*}(R \cap A^C).[/mm]
Ja, aber zu kompliziert.
Diese Definition brauchst du nur, falls du keine Sigma-Algebra gegeben hast, dann nimmst du einfach alle Mengen mit dieser Eigenschaft und bekommst eine (vollständige) Sigma-Algebra "geschenkt".
Wenn aber eine gegeben ist, wie hier, heißt eine Menge A einfach meßbar, falls $A [mm] \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Mach dir klar, dass das gegebene [mm] \mathcal{A} [/mm] durchaus kleiner sein kann, als diejenigen Mengen, die deine Eigenschaft erfüllen.
> > 2.) Gegeben sei eine Abbildung zwischen zwei Meßräumen
> > [mm]f:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Gamma,\mathcal{B})[/mm]
> > Wann heißt f nun meßbar?
> f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I)[/mm] für $I [mm] \subset \Gamma$ [/mm]
> eine messbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
Nein! Für alle Teilmengen wirst du so etwas so gut wie nie hinbekommen!
Man nimmt hier hier nur [mm] $I\in\mathcal{B}$
[/mm]
Du sagst nun: "eine messbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist"
Was heißt das denn in Bezug auf die Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] kurz geschrieben?
> Ich würde sagen aus 4.) folgt 3.) da [mm]\mathcal{B} \subset mathcal{L}.[/mm]
Die Begründung ist richtig, nur die Folgerung ist falsch ^^
Wenn eine Funktion 3.) erfüllt, erfüllt sie auch automatisch 3.)
> Die Umkehrung dürfte daher i.A. nicht gelten.
Korrekt.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > > 1.) Gegeben sei ein Meßraum [mm](\Omega,\mathcal{A})[/mm]. Wann
> > > heißt eine Menge A meßbar?
> >
> > Hier würde ich sagen, dass da folgende Definition
> angebracht ist:
> > Eine Menge A [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt messbar, wenn für
> alle
> > R [mm]\subset \IR^n[/mm] gilt
> > [mm]\lambda^{*}[/mm] (R) [mm]\ge \lambda^{*}[/mm] (R [mm]\cap[/mm] A)+
> [mm]\lambda^{*}(R \cap A^C).[/mm]
>
> Ja, aber zu kompliziert.
> Diese Definition brauchst du nur, falls du keine
> Sigma-Algebra gegeben hast, dann nimmst du einfach alle
> Mengen mit dieser Eigenschaft und bekommst eine
> (vollständige) Sigma-Algebra "geschenkt".
> Wenn aber eine gegeben ist, wie hier, heißt eine Menge A
> einfach meßbar, falls [mm]A \in \mathcal{A}[/mm].
Ah, okay!
> Mach dir klar,
> dass das gegebene [mm]\mathcal{A}[/mm] durchaus kleiner sein kann,
> als diejenigen Mengen, die deine Eigenschaft erfüllen.
>
> > > 2.) Gegeben sei eine Abbildung zwischen zwei Meßräumen
> > > [mm]f:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Gamma,\mathcal{B})[/mm]
> > >
> Wann heißt f nun meßbar?
>
> > f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I)[/mm] für [mm]I \subset \Gamma[/mm]
> > eine messbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
>
> Nein! Für alle Teilmengen wirst du so etwas so gut wie
> nie hinbekommen!
> Man nimmt hier hier nur [mm]I\in\mathcal{B}[/mm]
> Du sagst nun: "eine messbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist"
> Was heißt das denn in Bezug auf die Sigma-Algebra auf
> [mm]\Omega[/mm] kurz geschrieben?
Dass [mm] f^{-1}(I) \in \mathcal{L} [/mm] ?
>
> > Ich würde sagen aus 4.) folgt 3.) da [mm]\mathcal{B} \subset mathcal{L}.[/mm]
>
> Die Begründung ist richtig, nur die Folgerung ist falsch
> ^^
Ups vertippt!
> Wenn eine Funktion 3.) erfüllt, erfüllt sie auch
> automatisch 3.)
>
> > Die Umkehrung dürfte daher i.A. nicht gelten.
>
> Korrekt.
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Dass [mm]f^{-1}(I) \in \mathcal{L}[/mm] ?
genau das hab ich nämlich vermutet 
Was hat die Meßbarkeit auf [mm] \Omega [/mm] jetzt mit [mm] \mathcal{L} [/mm] zu tun? Nix!
Meßbarkeit hängt doch immer von der gegebenem Sigma-Algebra ab.
Welche Sigma-Algebra war auf [mm] \Omega [/mm] gegeben?
Und abschließend schreibst du die allgemeine [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] - [mm] $(\Gamma,\mathcal{B})$ [/mm] - Meßbarkeit nochmal hin, damit du es einmal sauber aufgeschrieben hast 
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Meinst du jetzt folgendes:
>
> f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I) \in \mathcal{A}[/mm] für I [mm]\in \mathcal{B}?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genauer: "für alle [mm]I \in \mathcal{B}[/mm]"
Und noch für dich als Information: Man sagt dann kurz "f ist meßbar".
Korrekter wäre natürlich: "f ist [mm] \mathcal{A} [/mm] - [mm] \mathcal{B} [/mm] - meßbar".
Jetzt ist dir hoffentlich auch klar, was mit "Lebesgue-Borel-meßbar" und "Borel-Borel-meßbar" gemeint ist.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > Meinst du jetzt folgendes:
> >
> > f heißt messbar, wenn [mm]f^{-1}(I) \in \mathcal{A}[/mm] für I
> [mm]\in \mathcal{B}?[/mm]
>
>
> Genauer: "für alle [mm]I \in \mathcal{B}[/mm]"
>
> Und noch für dich als Information: Man sagt dann kurz "f
> ist meßbar".
> Korrekter wäre natürlich: "f ist [mm]\mathcal{A}[/mm] -
> [mm]\mathcal{B}[/mm] - meßbar".
>
> Jetzt ist dir hoffentlich auch klar, was mit
> "Lebesgue-Borel-meßbar" und "Borel-Borel-meßbar" gemeint
> ist.
Vielen, vielen Dank! Jetzt macht das alles für mich viel mehr Sinn! :)
Um nochmal zur Aufgabe zurückzukommen.
Ich sollte ja zeigen, dass es f,g [mm] \in \mathcal{M}(\IR) [/mm] mit f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not\in \mathcal{M}(\IR) [/mm] gibt.
Ich brauche also zwei messbare Funktionen.
Ich habe den Tipp bekommen, dass die Cantormenge hilfreich ist, bin mir aber noch nicht hundertprozentig sicher, ob das nun korrekt ist, vielleicht könnte das jemand mal ansehen?
Sei g:[0,1] [mm] \to [/mm] C (C ist die Cantormenge). g ist [mm] \mathcal{B} [/mm] - [mm] \mathcal{B}- [/mm] messbar, also insb. [mm] \mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.
[/mm]
Sei f: C [mm] \to [/mm] C, sodass es eine Borelmenge [mm] \mathcal{B} \subset [/mm] C gibt, für die [mm] f^{-1}(\mathcal{B}) [/mm] eine von den Mengen ist, für die das Urbild unter g [mm] \in \mathcal{L} [/mm] ist. f ist dann [mm] \mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar, [/mm] da jede Teilmenge von C Lebesgue-messbar ist.
Betrachte nun f [mm] \circ [/mm] g. (f [mm] \circ g)^{-1}(\mathcal{B})=g^{-1}(f^{-1} (\mathcal{B})) \not\in \mathcal{L}, [/mm] daher ist die Komposition nicht [mm] \mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.
[/mm]
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Hiho,
> Vielen, vielen Dank! Jetzt macht das alles für mich viel mehr Sinn! :)
Na das ist ja schön.
> Ich brauche also zwei messbare Funktionen.
Ja, nach Voraussetzung!
> Ich habe den Tipp bekommen, dass die Cantormenge hilfreich
> ist, bin mir aber noch nicht hundertprozentig sicher, ob
> das nun korrekt ist, vielleicht könnte das jemand mal ansehen?
Naja, du kannst das aber auch mit jeder anderen Menge machen.
> Sei g:[0,1] [mm]\to[/mm] C (C ist die Cantormenge).
ok
> g ist [mm]\mathcal{B}[/mm] - [mm]\mathcal{B}-[/mm] messbar,
Warum? Oder setzt du das Voraus?
> also insb. [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.[/mm]
Jo.
> Sei f: C [mm]\to[/mm] C, sodass es eine Borelmenge [mm]\mathcal{B} \subset[/mm] C gibt, für die [mm]f^{-1}(\mathcal{B})[/mm] eine von den Mengen ist, für die das Urbild unter g [mm]\in \mathcal{L}[/mm] ist. f ist
> dann [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar,[/mm] da jede Teilmenge von C Lebesgue-messbar ist.
Joar.
> Betrachte nun f [mm]\circ[/mm] g. (f [mm]\circ g)^{-1}(\mathcal{B})=g^{-1}(f^{-1} (\mathcal{B})) \not\in \mathcal{L},[/mm]
Ok, hier nun mal eine Verständnisrückfrage an dich.
Was heißt nun $ [mm] \not\in \mathcal{L}$ [/mm] ?
Definitiv nicht? Nicht notwendigerweise? Vielleicht ja doch?
Die Idee ist gut, aber ein bisschen genauer noch.
> daher ist die Komposition nicht [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.[/mm]
Ja.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > Vielen, vielen Dank! Jetzt macht das alles für mich viel
> mehr Sinn! :)
>
> Na das ist ja schön.
>
> > Ich brauche also zwei messbare Funktionen.
>
> Ja, nach Voraussetzung!
>
> > Ich habe den Tipp bekommen, dass die Cantormenge hilfreich
> > ist, bin mir aber noch nicht hundertprozentig sicher, ob
> > das nun korrekt ist, vielleicht könnte das jemand mal
> ansehen?
>
> Naja, du kannst das aber auch mit jeder anderen Menge
> machen.
>
> > Sei g:[0,1] [mm]\to[/mm] C (C ist die Cantormenge).
>
> ok
> > g ist [mm]\mathcal{B}[/mm] - [mm]\mathcal{B}-[/mm] messbar,
>
> Warum? Oder setzt du das Voraus?
Ich meine ich hab das mal irgendwo gelesen, aber ich finds grad nicht.
Also die Cantormenge ist ja schonmal kompakt und wir haben einen Satz, der besagt, dass für jedes kompakte K [mm] \subset \IR f^{-1} [/mm] (K) [mm] \in \mathcal{B} [/mm] ist.
>
> > also insb. [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.[/mm]
>
> Jo.
>
> > Sei f: C [mm]\to[/mm] C, sodass es eine Borelmenge [mm]\mathcal{B} \subset[/mm]
> C gibt, für die [mm]f^{-1}(\mathcal{B})[/mm] eine von den Mengen
> ist, für die das Urbild unter g [mm]\in \mathcal{L}[/mm] ist. f ist
> > dann [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar,[/mm] da jede Teilmenge von
> C Lebesgue-messbar ist.
>
> Joar.
>
> > Betrachte nun f [mm]\circ[/mm] g. (f [mm]\circ g)^{-1}(\mathcal{B})=g^{-1}(f^{-1} (\mathcal{B})) \not\in \mathcal{L},[/mm]
>
> Ok, hier nun mal eine Verständnisrückfrage an dich.
> Was heißt nun [mm]\not\in \mathcal{L}[/mm] ?
> Definitiv nicht? Nicht notwendigerweise? Vielleicht ja
> doch?
Das ist doch dann aufgrund der entsprechenden Konstruktion [mm] \not\in \mathcal{L}...
[/mm]
>
> Die Idee ist gut, aber ein bisschen genauer noch.
>
> > daher ist die Komposition nicht
> [mm]\mathcal{L}-\mathcal{B}-messbar.[/mm]
>
> Ja.
Auf jeden Fall vielen vielen Dank!!!
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Hiho,
> > > g ist [mm]\mathcal{B}[/mm] - [mm]\mathcal{B}-[/mm] messbar,
> >
> > Warum? Oder setzt du das Voraus?
>
> Ich meine ich hab das mal irgendwo gelesen, aber ich finds grad nicht.
Hast du sicher nirgends gelesen
> Also die Cantormenge ist ja schonmal kompakt und wir haben
> einen Satz, der besagt, dass für jedes kompakte K [mm]\subset \IR f^{-1}[/mm] (K) [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist.
Das gilt für meßbare Funktionen! (Nach Definition der Meßbarkeit von Funktionen)
Du wolltest ja aber gerade zeigen, dass deine Funktion meßbar ist..... wirst du aber nicht können.
Weil es Funktionen von C nach C gibt, die das eben nicht sind.... also setzen wir es mal voraus.
> Das ist doch dann aufgrund der entsprechenden Konstruktion [mm]\not\in \mathcal{L}...[/mm]
Nein, eben nicht.
Aber dass es eine solche Menge geben muss, ist klar, wenn man deine Wahl von f ein wenig modifiziert.
Also: Wir wählen f und g beide [mm] $\mathcal{L}$-$\mathcal{B}$-meßbar.
[/mm]
Dann gilt folgendes für ein B aus [mm] $\mathcal{B}$:
[/mm]
[mm] $(f\circ g)^{-1}(B) [/mm] = [mm] f^{-1}\underbrace{\left(g^{-1}(B)\right)}_{\in\mathcal{L}}$
[/mm]
Und darüber können wir nun keine Aussage machen, es sei denn f wäre [mm] $\mathcal{L}$-$\mathcal{L}$-meßbar.
[/mm]
Also nehmen wir eben ein f, was zwar [mm] $\mathcal{L}$-$\mathcal{B}$-meßbar, [/mm] aber nicht [mm] $\mathcal{L}$-$\mathcal{L}$-meßbar [/mm] ist (und eigentlich müsste man noch zeigen, dass so ein f existiert, aber das sparen wir uns mal ).
Haben wir unser f gewählt, DANN gibt es sicher ein $A [mm] \in \mathcal{L}$ [/mm] so dass [mm] $f^{-1}(A) \not\in\mathcal{L}$.
[/mm]
Wählen wir uns nun noch ein g, so dass ein [mm] $B\in \mathcal{B}$ [/mm] mit $A = [mm] g^{-1}(B)$ [/mm] existiert, sind wir fertig.
Viel Arbeit, für einen "kleinen" Beweis
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> Hiho,
>
> > > > g ist [mm]\mathcal{B}[/mm] - [mm]\mathcal{B}-[/mm] messbar,
> > >
> > > Warum? Oder setzt du das Voraus?
> >
> > Ich meine ich hab das mal irgendwo gelesen, aber ich finds
> grad nicht.
>
> Hast du sicher nirgends gelesen
>
> > Also die Cantormenge ist ja schonmal kompakt und wir haben
> > einen Satz, der besagt, dass für jedes kompakte K [mm]\subset \IR f^{-1}[/mm]
> (K) [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist.
>
> Das gilt für meßbare Funktionen! (Nach Definition der
> Meßbarkeit von Funktionen)
> Du wolltest ja aber gerade zeigen, dass deine Funktion
> meßbar ist..... wirst du aber nicht können.
> Weil es Funktionen von C nach C gibt, die das eben nicht
> sind.... also setzen wir es mal voraus.
>
> > Das ist doch dann aufgrund der entsprechenden Konstruktion
> [mm]\not\in \mathcal{L}...[/mm]
>
> Nein, eben nicht.
> Aber dass es eine solche Menge geben muss, ist klar, wenn
> man deine Wahl von f ein wenig modifiziert.
>
> Also: Wir wählen f und g beide
> [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar.
>
> Dann gilt folgendes für ein B aus [mm]\mathcal{B}[/mm]:
>
> [mm](f\circ g)^{-1}(B) = f^{-1}\underbrace{\left(g^{-1}(B)\right)}_{\in\mathcal{L}}[/mm]
kurze Rückfrage hierzu: Ist [mm] (f\circ g)^{-1}(B) [/mm] nicht gleich [mm] g^{-1}(f^{-1}(B)) [/mm] ?
>
> Und darüber können wir nun keine Aussage machen, es sei
> denn f wäre [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{L}[/mm]-meßbar.
>
> Also nehmen wir eben ein f, was zwar
> [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar, aber nicht
> [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{L}[/mm]-meßbar ist (und eigentlich müsste
> man noch zeigen, dass so ein f existiert, aber das sparen
> wir uns mal ).
>
> Haben wir unser f gewählt, DANN gibt es sicher ein [mm]A \in \mathcal{L}[/mm]
> so dass [mm]f^{-1}(A) \not\in\mathcal{L}[/mm].
>
> Wählen wir uns nun noch ein g, so dass ein [mm]B\in \mathcal{B}[/mm]
> mit [mm]A = g^{-1}(B)[/mm] existiert, sind wir fertig.
>
> Viel Arbeit, für einen "kleinen" Beweis
>
> MFG,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 26.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > > > g ist [mm]\mathcal{B}[/mm] - [mm]\mathcal{B}-[/mm] messbar,
> > > >
> > > > Warum? Oder setzt du das Voraus?
> > >
> > > Ich meine ich hab das mal irgendwo gelesen, aber ich finds
> > grad nicht.
> >
> > Hast du sicher nirgends gelesen
> >
> > > Also die Cantormenge ist ja schonmal kompakt und wir haben
> > > einen Satz, der besagt, dass für jedes kompakte K [mm]\subset \IR f^{-1}[/mm]
> > (K) [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist.
> >
> > Das gilt für meßbare Funktionen! (Nach Definition der
> > Meßbarkeit von Funktionen)
> > Du wolltest ja aber gerade zeigen, dass deine Funktion
> > meßbar ist..... wirst du aber nicht können.
> > Weil es Funktionen von C nach C gibt, die das eben
> nicht
> > sind.... also setzen wir es mal voraus.
> >
> > > Das ist doch dann aufgrund der entsprechenden Konstruktion
> > [mm]\not\in \mathcal{L}...[/mm]
> >
> > Nein, eben nicht.
> > Aber dass es eine solche Menge geben muss, ist klar,
> wenn
> > man deine Wahl von f ein wenig modifiziert.
> >
> > Also: Wir wählen f und g beide
> > [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar.
> >
> > Dann gilt folgendes für ein B aus [mm]\mathcal{B}[/mm]:
> >
> > [mm](f\circ g)^{-1}(B) = f^{-1}\underbrace{\left(g^{-1}(B)\right)}_{\in\mathcal{L}}[/mm]
>
> kurze Rückfrage hierzu: Ist [mm](f\circ g)^{-1}(B)[/mm] nicht
> gleich [mm]g^{-1}(f^{-1}(B))[/mm] ?
Ja, das ist so.
FRED
>
> >
> > Und darüber können wir nun keine Aussage machen, es sei
> > denn f wäre [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{L}[/mm]-meßbar.
> >
> > Also nehmen wir eben ein f, was zwar
> > [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{B}[/mm]-meßbar, aber nicht
> > [mm]\mathcal{L}[/mm]-[mm]\mathcal{L}[/mm]-meßbar ist (und eigentlich müsste
> > man noch zeigen, dass so ein f existiert, aber das sparen
> > wir uns mal ).
> >
> > Haben wir unser f gewählt, DANN gibt es sicher ein [mm]A \in \mathcal{L}[/mm]
> > so dass [mm]f^{-1}(A) \not\in\mathcal{L}[/mm].
> >
> > Wählen wir uns nun noch ein g, so dass ein [mm]B\in \mathcal{B}[/mm]
> > mit [mm]A = g^{-1}(B)[/mm] existiert, sind wir fertig.
> >
> > Viel Arbeit, für einen "kleinen" Beweis
> >
> > MFG,
> > Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
So wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie bescheuert!
Seien X,Y,Z nichtleere Mengen und f:X [mm] \to [/mm] Y und g:Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen.
1. A,B,C seien [mm] \sigma [/mm] - Algebren auf X bzw. Y bzw. Z
Ist f A-B - messbar und ist g B-C - messbar, so ist g [mm] \circ [/mm] f natürlich A-C- messbar.
2. A und C seien wie in 1. Weiter seien [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] zwei [mm] \sigma [/mm] - Algebren auf Y.
Ist f [mm] A-B_1 [/mm] - messbar g [mm] B_2-C [/mm] - messbar, so läst sich über die messbarkeit von g [mm] \circ [/mm] f nichts aussagen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 So 25.11.2012 | | Autor: | Pia90 |
> So wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie bescheuert!
Und leider nicht nur diese Aufgabe...
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> Seien X,Y,Z nichtleere Mengen und f:X [mm]\to[/mm] Y und g:Y [mm]\to[/mm] Z
> Abbildungen.
>
> 1. A,B,C seien [mm]\sigma[/mm] - Algebren auf X bzw. Y bzw. Z
>
> Ist f A-B - messbar und ist g B-C - messbar, so ist g
> [mm]\circ[/mm] f natürlich A-C- messbar.
>
>
> 2. A und C seien wie in 1. Weiter seien [mm]B_1[/mm] und [mm]B_2[/mm] zwei
> [mm]\sigma[/mm] - Algebren auf Y.
>
> Ist f [mm]A-B_1[/mm] - messbar g [mm]B_2-C[/mm] - messbar, so läst sich
> über die messbarkeit von g [mm]\circ[/mm] f nichts aussagen.
>
Danke für die verstädnlichen Ausführungen!
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