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| Aufgabe | Der Graph der Funktion
f(x) = [mm] ax^{k+2} [/mm] + [mm] bx^{k+1} [/mm] + [mm] cx^{k}
[/mm]
geht durch die Punkte A(1/4), B(4/10) und C(6/20).
Bestimme die Steigung des Graphen im Punkt (A(1/4) in Abhängigkeit von k. |
Dieses scheint eine Strafarbeit für renitente Schüler und Studenten zu sein.
Meines Erachtens ist die Aufgabe zwar lösbar, aber die gesuchte Formel, in der nur Zahlen und das k vorkommen darf, dürfte wohl nicht auf ein DIN-A4-Blatt passen.
Es ist f'(1) = 2a + b + n(a+b+c)
Wenn man die x-Werte einsetzt, ergibt sich ein Gleichungssystem: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Für dessen Lösung gibt es einen Algorithmus, wie man a, b und c rauskriegt. Das dann in obige Formel einsetzen. So müsste es gehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 02.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Trick zur Aufstellung der Funktionsgleichung ist, passend auszuklammern.
Es gilt:
[mm] f_{k}(x)=ax^{k+2}+bx^{k+1}+cx^{k}=x^{k}(ax^{2}+bx+c)
[/mm]
Jetzt kannst du einsetzen
Aus Punkt A:
4=a+b+c
Aus Punkt B:
[mm] 10=4^{k}(16a+4b+c)
[/mm]
Und aus Punkt C:
[mm] 20=6^{k}(36a+6b+c)
[/mm]
Somit bekommst du folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{a+b+c=4\\
16a+4b+c=\frac{10}{4^{k}}\\
36a+6b+c=\frac{20}{6^{k}}} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\vmat{c+b+a=4\\
c+4b+16a=\frac{10}{4^{k}}\\
c+6b+36a=\frac{20}{6^{k}}} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\vmat{c+b+a=4\\
-3b-15a=4-\frac{10}{4^{k}}\\
-5b-35a=4-\frac{20}{6^{k}}} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\vmat{c+b+a=4\\-b-5a=\frac{4-\frac{10}{4^{k}}}{3}\\-b-
7a=\frac{4-\frac{20}{6^{k}}}{5}} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\vmat{c+b+a=4\\
-b-5a=\frac{4-\frac{10}{4^{k}}}{3}\\
-2a=\frac{4-\frac{10}{4^{k}}}{3}-\frac{4-\frac{20}{6^{k}}}{5}} [/mm]
Nicht schön, zugegeben, aber noch lösbar.
Marius
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