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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Mo 29.08.2011 | | Autor: | marc1601 |
[mm] \textbf{Definition:} [/mm] Sei $E$ ein reeller Banachraum und [mm] $E_c [/mm] := E + iE$. Dann heißt [mm] $(E_c, \parallel\cdot \parallel)$ [/mm] eine [mm] \textit{Komplexifizierung} [/mm] von $E$, falls
1. [mm] $(E_c, \parallel\cdot \parallel)$ [/mm] ist ein komplexer Banachraum.
2. Es gilt [mm] $\parallel\xi [/mm] + i 0 [mm] \parallel= \parallel\xi \parallel$ [/mm] für alle [mm] $\xi \in [/mm] E$, d.h. die Einschränkung von [mm] $\parallel\cdot \parallel$ [/mm] auf $E$ stimmt mit der ursprünglichen Norm von $E$ überein.
3. Für alle [mm] $\xi, \eta \in [/mm] E$ gilt [mm] $\parallel\xi [/mm] + i [mm] \eta \parallel= \parallel\xi [/mm] - i [mm] \eta \parallel$.
[/mm]
Hallo zusammen, ich möchte zeigen, dass es für jeden reellen Banachraum eine solche Komplexifizierung gibt. Eine - wie ich dachte - wunderbare Idee ist es dazu [mm] $\parallel\xi [/mm] + [mm] i\eta \parallel:= \sup\{ \sqrt{f(\xi)^2 + f(\eta)^2} \ : \ f \in E', \ \parallel f \parallel_{op} \leq 1 \}$ [/mm] zu definieren. Dabei bezeichnet $E'$ den topologischen Dualraum von $E$ und [mm] $\parallel \cdot \parallel_{op}$ [/mm] die Operatornorm. Bis auf die Dreiecksungleichung kann ich auch alle Normeigenschaften zeigen, aber immer wenn ich mich daran versuche, stoße ich auf Granit. Wenn ich [mm] $\parallel (\xi [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] + [mm] i(\eta [/mm] + [mm] \beta) \parallel$ [/mm] umschreiben will (und den sup-Ausdruck erstmal weglasse), bekomme ich wegen der Quadrate immer einen Ausdruck der Form [mm] $f(\xi)^2 [/mm] + [mm] 2f(\xi)f(\alpha) [/mm] + [mm] f(\alpha)^2$. [/mm] Kann ich den nicht-quadratischen Term irgendwie wegbekommen? Mir fällt dazu leider keine Lösung ein, oder sollte ich einen ganz anderen Ansatz wählen? Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 29.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\textbf{Definition:}[/mm] Sei [mm]E[/mm] ein reeller Banachraum und [mm]E_c := E + iE[/mm].
> Dann heißt [mm](E_c, \parallel\cdot \parallel)[/mm] eine
> [mm]\textit{Komplexifizierung}[/mm] von [mm]E[/mm], falls
>
> 1. [mm](E_c, \parallel\cdot \parallel)[/mm] ist ein komplexer
> Banachraum.
>
> 2. Es gilt [mm]\parallel\xi + i 0 \parallel= \parallel\xi \parallel[/mm]
> für alle [mm]\xi \in E[/mm], d.h. die Einschränkung von
> [mm]\parallel\cdot \parallel[/mm] auf [mm]E[/mm] stimmt mit der
> ursprünglichen Norm von [mm]E[/mm] überein.
>
> 3. Für alle [mm]\xi, \eta \in E[/mm] gilt [mm]\parallel\xi + i \eta \parallel= \parallel\xi - i \eta \parallel[/mm].
>
> Hallo zusammen, ich möchte zeigen, dass es für jeden
> reellen Banachraum eine solche Komplexifizierung gibt. Eine
> - wie ich dachte - wunderbare Idee ist es dazu
> [mm]\parallel\xi + i\eta \parallel:= \sup\{ \sqrt{f(\xi)^2 + f(\eta)^2} \ : \ f \in E', \ \parallel f \parallel_{op} \leq 1 \}[/mm]
> zu definieren. Dabei bezeichnet [mm]E'[/mm] den topologischen
> Dualraum von [mm]E[/mm] und [mm]\parallel \cdot \parallel_{op}[/mm] die
> Operatornorm. Bis auf die Dreiecksungleichung kann ich auch
> alle Normeigenschaften zeigen, aber immer wenn ich mich
> daran versuche, stoße ich auf Granit. Wenn ich [mm]\parallel (\xi + \alpha) + i(\eta + \beta) \parallel[/mm]
> umschreiben will (und den sup-Ausdruck erstmal weglasse),
> bekomme ich wegen der Quadrate immer einen Ausdruck der
> Form [mm]f(\xi)^2 + 2f(\xi)f(\alpha) + f(\alpha)^2[/mm]. Kann ich
> den nicht-quadratischen Term irgendwie wegbekommen? Mir
> fällt dazu leider keine Lösung ein, oder sollte ich einen
> ganz anderen Ansatz wählen? Vielen Dank für eure Hilfe!
Der Ansatz ist schon gut. Versuch es nur etwas weniger technisch zu machen 
Ist $f [mm] \in [/mm] E'$, so ist $h(x + i y) := f(x) + i f(y)$ in [mm] $E_c'$. [/mm] Weiterhin ist [mm] $\sqrt{f(\xi)^2 + f(\eta)^2} [/mm] = [mm] |h(\xi [/mm] + i [mm] \eta)|$, [/mm] wobei [mm] $|\bullet|$ [/mm] der normale Betrag auf [mm] $\IC$ [/mm] ist.
Jetzt ist $h$ linear und fuer [mm] $|\bullet|$ [/mm] gilt die Dreiecksungleichung - das liefert dir sofort die Dreiecksungleichung ohne das Supremum.
Und mit Supremum ist es auch nicht viel schwerer....
LG Felix
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