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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Fr 18.05.2007 | | Autor: | moffel |
| Aufgabe | | Berechnen sie das Umlaufintegral [mm] \integral {\bruch{cos^2 (az) }{ z^3 } dz} [/mm] , wobei a > 0 und über den Einheitskreis integriert wird. |
Hierzu habe ich mir schon ein paar Gedanken gemacht. Hab erstmal versucht den
[mm]cos^2 (az)[/mm] durch
[mm]\bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right)[/mm] zu ersetzen u dann das Integral zu
[mm]\bruch{1}{4} \left[ \integral {\bruch {e^{iaz}}{z^3} dz} + \integral {\bruch{ e^{-iaz}}{z^3} dz} \right][/mm]
vereinfachen, doch komme ich jetzt irgendwie nicht weiter (habe schon versucht [mm]z=e^{it}[/mm] zu setzen und dann über [mm]\integral_{0}^{2\pi} {dt}[/mm] zu integrieren, jedoch komme ich damit auf keinen grünen Zweig...
Für jede Hilfe wäre ich natürlich sehr dankbar (hab mir mit dieser Aufgabe jetzt fast den gesamten Feiertagsabend totgeschlagen)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hierzu habe ich mir schon ein paar Gedanken gemacht. Hab
> erstmal versucht den
> [mm]cos^2 (az)[/mm] durch
> [mm]\bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right)[/mm] zu ersetzen
nein, es ist nicht [mm]cos^2 (az)[/mm] => [mm]\bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right)[/mm], sondern nur [mm]cos (az)[/mm] =[mm]\bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right)[/mm]
> dann das Integral zu
> [mm]\bruch{1}{4} \left[ \integral {\bruch {e^{iaz}}{z^3} dz} + \integral {\bruch{ e^{-iaz}}{z^3} dz} \right][/mm]
>
> vereinfachen, doch komme ich jetzt irgendwie nicht weiter
> (habe schon versucht [mm]z=e^{it}[/mm] zu setzen und dann über
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {dt}[/mm] zu integrieren, jedoch komme ich
> damit auf keinen grünen Zweig...
Versuch mal z=cos x + i sin x, dann bist du auch auf dem Einheitskreis. Vergiss nicht dz=(-sinx+icosx)dx.
> Für jede Hilfe wäre ich natürlich sehr dankbar (hab mir
> mit dieser Aufgabe jetzt fast den gesamten Feiertagsabend
> totgeschlagen)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:32 Fr 18.05.2007 | | Autor: | moffel |
>> erstmal versucht den
>> $ [mm] cos^2 [/mm] (az) $ durch
> >$ [mm] \bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right) [/mm] $ zu ersetzen
>nein, es ist nicht $ [mm] cos^2 [/mm] (az) $ => $ [mm] \bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + >e^{-iaz}\right) [/mm] $, sondern nur $ cos (az) $ =$ [mm] \bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + >e^{-iaz}\right) [/mm] $
Danke :)
Gilt denn [mm]cos^2 (az) = \left[ \bruch{1}{2} \left( e^{iaz} + e^{-iaz}\right) \right] }^2 [/mm] [mm] \\ [/mm] ?
>Versuch mal z=cos x + i sin x, dann bist du auch auf dem Einheitskreis.
>Vergiss nicht dz=(-sinx+icosx)dx
werd ich morgen mal versuchen, jetzt ist schon zu spät ;) Aber nochmal
vielen Dank für den Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Fr 18.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Also ich würde die Cauchysche Integralformel anwenden und komme so auf [mm] 2i\pi [/mm] für das integral!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 18.05.2007 | | Autor: | moffel |
Hi wauwau
erstmal vielen Dank für den Tipp. Habe das auch schon auf diesem weg durchgerechnet, doch komme ich hierbei auf [mm]-2 a^2 \pi i [/mm].
Hier mal der Ansatz, bin mir bei der komplexen Ableitung von [mm]\cos^2(az)[/mm] nicht sicher...
(*edit) Die Integrale sind jeweils als Kreisintegrale [mm]\left|z\right| = 1[/mm]
Wenn:
$ [mm] \integral {\bruch{\cos^2 (az) }{ z^3 } dz} [/mm] $
müsste doch eine Cauchysche Integralformel für n=2 vorliegen (da [mm]z^3 = z^{n+1} [/mm] für [mm]n=2[/mm]).
Also wäre [mm]f''2\left(z_0\right) = \bruch{2!}{2i\pi} \integral{ \bruch {f(z)}{z-z_0}} dz }[/mm] der richtige Ansatz, oder ([mm]z_0 = 0[/mm] ist eine dreifache Nullstelle hier)?
Nun leite ich [mm]\cos^2 (az)[/mm] zweimal ab u bekomme
[mm] f'(z) = -2a * \cos (az) * \sin (az)[/mm]
und
[mm]f''(z) 0 -2a^2 * \sin^2(az) - 2a^2 * \cos^2 (az)[/mm]
Das ganze setze ich in die Formel ein u erhalte:
[mm]f''(z_o) \bruch{2i\pi}{2!} = \integral{ \bruch {f(z)}{z-z_0}} dz }[/mm]
da [mm]f''(0) = -2a^2 * \sin^2(0) - 2a^2 * \cos^2(0) = -2a^2 *1 = -2a^2[/mm] ist, erhalte ich als Ergebnis:
[mm]-2a^2i\pi = \integral{ \bruch {f(z)}{z-z_0}} dz }[/mm]
Oder habe ich etwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Sa 19.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Bis auf das erste Minus in deiner 2. Ableitung, was aber das Ergebnis nich verändert finde ich deine Lösung korrekt (ich habe die 3. Potenz im Nenner des Integranden übersehen)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 19.05.2007 | | Autor: | moffel |
Ja, stimmt. Das hatte ich gestern wohl noch übersehen. Vielen Dank noch einmal.
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