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| Aufgabe | | Für [mm] $p=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\IC[X]$ [/mm] setze man [mm] $R=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|$. [/mm] Dann gilt $|p(z)|>R$ für [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|>R$. |
Hallo,
die obige Aufgabe ist mal wieder aus Amann/Escher. Wie sieht es aus, wenn wir $p=X-1$ betrachten? Dann ist $R=2$. Für $z=5/2>R$ ist aber $p(z)=5/2-1=3/2<R$. Habe ich einen Denkfehler, oder ist die Aufgabe falsch?
Wenn es hingegen darum ginge, die erste Abschätzung des ![[]](/images/popup.gif) Satzes von Gerschgorin, den ich gefunden habe, zu zeigen, hätte ich schon eher Ansätze.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Fr 23.01.2015 | | Autor: | hippias |
Ich kenne weder Buch noch diese Aussage; Du scheinst sie aber wiederlegt zu haben. Sie erinnert mich aber ein Wachstumslemma (siehe z.B. Seite 55).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Sa 24.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]p=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\IC[X][/mm] setze man
> [mm]R=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|[/mm]. Dann gilt [mm]|p(z)|>R[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm]
> mit [mm]|z|>R[/mm].
>
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe ist mal wieder aus Amann/Escher. Wie
> sieht es aus, wenn wir [mm]p=X-1[/mm] betrachten? Dann ist [mm]R=2[/mm]. Für
> [mm]z=5/2>R[/mm] ist aber [mm]p(z)=5/2-1=3/2
> Denkfehler, oder ist die Aufgabe falsch?
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist die Aussage richtig.
FRED
>
> Wenn es hingegen darum ginge, die erste Abschätzung des
> Satzes von Gerschgorin,
> den ich gefunden habe, zu zeigen, hätte ich schon eher
> Ansätze.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Ah, vielen Dank.
Ich denke, ich habe einen Beweis, könntet ihr mal drübergucken?
Ich definiere [mm] $p_0=1=$[Leitkoeffizient [/mm] von $p$] und dann rekursiv [mm] $p_j=p_{j-1}X+a_{n-j}$. [/mm] Durch Induktion nach [mm] $n=\deg [/mm] p$ sieht man, dass [mm] $p_n=p$ [/mm] gilt.
Sei nun $p$ wie in der Aufgabe vorgegeben und [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit [mm] $|z|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|$.
[/mm]
Außerdem setze ich [mm] $R_1=|z|-|a_{n-1}|$ [/mm] und [mm] $R_j=|z|R_{j-1}-|a_{n-j}|$. [/mm] Dann gilt nach der umgekehrten Dreiecksungleichung
[mm] $|p_1(z)|=|z+a_{n-1}|\ge||z|-|a_{n-1}||=R_1$.
[/mm]
Per Induktion folgt
[mm] $|p_j(z)|=|p_{j-1}z+a_{n-j}|\ge||p_{j-1}||z|-|a_{n-j}||>||z|R_{j-1}-|a_{n-j}||=R_j$ [/mm] für alle [mm] $j\ge [/mm] 1$.
Außerdem gilt [mm] $R_1=|z|-|a_{n-1}|>1+\sum_{k_0}^{n-1}|a_k|-|a_{n-1}|=1+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|$,
[/mm]
[mm] $R_2=|z|R_1-|a_{n-1}|>(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)(1+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|)-|a_{n-2}|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|-|a_{n-2}|=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-3}|a_k|$.
[/mm]
Per Induktion folgt
[mm] $R_j=|z|R_{j-1}-|a_{n-j}|>(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-(j-1)-1}|a_k|)-|a_{n-j}|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-j}|a_k|-|a_{n-j}|>1+\sum_{k_0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-j-1}|a_k|$ [/mm] für [mm] $j\ge [/mm] 2$.
Da dieser Abschätzung wie man oben sieht, für $j=1$ noch nicht funktioniert, fehlt diese Voraussetzung bei der Aufgabenstellung.
Schließlich folgt [mm] $|p(z)|=|p_n(z)|>R_n>\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-1-n}|a_k|=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|$.
[/mm]
Ist das so alles in Ordnung, oder habe ich mich irgendwo verdacht?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Könnte vielleicht jemand bestätigen, ob der Beweis so in Ordnung ist? 
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mo 26.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ah, vielen Dank.
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> Ich denke, ich habe einen Beweis, könntet ihr mal
> drübergucken?
>
> Ich definiere [mm]p_0=1=[/mm][Leitkoeffizient von [mm]p[/mm]] und dann
> rekursiv [mm]p_j=p_{j-1}X+a_{n-j}[/mm]. Durch Induktion nach [mm]n=\deg p[/mm]
> sieht man, dass [mm]p_n=p[/mm] gilt.
>
> Sei nun [mm]p[/mm] wie in der Aufgabe vorgegeben und [mm]z\in\IC[/mm] mit
> [mm]|z|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|[/mm].
>
> Außerdem setze ich [mm]R_1=|z|-|a_{n-1}|[/mm] und
> [mm]R_j=|z|R_{j-1}-|a_{n-j}|[/mm]. Dann gilt nach der umgekehrten
> Dreiecksungleichung
>
> [mm]|p_1(z)|=|z+a_{n-1}|\ge||z|-|a_{n-1}||=R_1[/mm].
>
> Per Induktion folgt
>
> [mm]|p_j(z)|=|p_{j-1}z+a_{n-j}|\ge||p_{j-1}||z|-|a_{n-j}||>||z|R_{j-1}-|a_{n-j}||=R_j[/mm]
> für alle [mm]j\ge 1[/mm].
>
> Außerdem gilt
> [mm]R_1=|z|-|a_{n-1}|>1+\sum_{k_0}^{n-1}|a_k|-|a_{n-1}|=1+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|[/mm],
>
> [mm]R_2=|z|R_1-|a_{n-1}|>(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)(1+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|)-|a_{n-2}|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-2}|a_k|-|a_{n-2}|=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-3}|a_k|[/mm].
>
> Per Induktion folgt
>
> [mm]R_j=|z|R_{j-1}-|a_{n-j}|>(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)(1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-(j-1)-1}|a_k|)-|a_{n-j}|>1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-j}|a_k|-|a_{n-j}|>1+\sum_{k_0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-j-1}|a_k|[/mm]
> für [mm]j\ge 2[/mm].
>
> Da dieser Abschätzung wie man oben sieht, für [mm]j=1[/mm] noch
> nicht funktioniert, fehlt diese Voraussetzung bei der
> Aufgabenstellung.
>
> Schließlich folgt
> [mm]|p(z)|=|p_n(z)|>R_n>\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|+\sum_{k=0}^{n-1-n}|a_k|=1+\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|[/mm].
>
> Ist das so alles in Ordnung, oder habe ich mich irgendwo
> verdacht?
Ich sehe keinen Fehler
FRED
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> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Vielen Dank!
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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